Cálculo Ejemplos

y = \frac{x sin (x)}{1 + cos (x)}

$y = \frac{x \sin (x)}{1 + \cos (x)}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que

\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es

\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde

f (x) = x sin (x)

$f (x) = x \sin (x)$ y

g (x) = 1 + cos (x)

$g (x) = 1 + \cos (x)$ .

\frac{(1 + cos (x)) \frac{d}{d x} [x sin (x)] - x sin (x) \frac{d}{d x} [1 + cos (x)]}{{(1 + cos (x))}^{2}}

$\frac{(1 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [x \sin (x)] - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que

\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde

$f (x) = x$ y

$g (x) = \sin (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3

La derivada de

$\sin (x)$ con respecto a

$x$ es

$\cos (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es

$n x^{n - 1}$ donde

$n = 1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 4.2

Multiplica

$\sin (x)$ por

$1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 4.3

Según la regla de la suma, la derivada de

$1 + \cos (x)$ con respecto a

$x$ es

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 4.4

Como

$1$ es constante con respecto a

$x$ , la derivada de

$1$ con respecto a

$x$ es

$0$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 4.5

Suma

$0$ y

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 5

La derivada de

$\cos (x)$ con respecto a

$x$ es

$- \sin (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (- \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 6

Multiplica.

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Paso 6.1

Multiplica

$- 1$ por

$- 1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + 1 x \sin (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 6.2

Multiplica

$x$ por

$1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 7

Eleva

$\sin (x)$ a la potencia de

$1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x (\sin^{1} (x) \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 8

Eleva

$\sin (x)$ a la potencia de

$1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 9

Usa la regla de la potencia

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x {\sin (x)}^{1 + 1}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 10

Suma

$1$ y

$1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Simplifica el numerador.

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Paso 11.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.1.1.1

Expande

$(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 11.1.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 (x \cos (x) + \sin (x)) + \cos (x) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 11.1.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 (x \cos (x)) + 1 \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 11.1.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 (x \cos (x)) + 1 \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 11.1.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 11.1.1.2.1

Multiplica

$x \cos (x)$ por

$1$ .

$\frac{x \cos (x) + 1 \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 11.1.1.2.2

Multiplica

$\sin (x)$ por

$1$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 11.1.1.2.3

Multiplica

$\cos (x) (x \cos (x))$ .

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Paso 11.1.1.2.3.1

Eleva

$\cos (x)$ a la potencia de

$1$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\cos^{1} (x) \cos (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 11.1.1.2.3.2

Eleva

$\cos (x)$ a la potencia de

$1$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 11.1.1.2.3.3

Usa la regla de la potencia

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x {\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 11.1.1.2.3.4

Suma

$1$ y

$1$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x \cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 11.1.2

Mueve

$x \sin^{2} (x)$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x \cos^{2} (x) + x \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 11.1.3

Factoriza

$x$ de

$x \cos^{2} (x)$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\cos^{2} (x)) + x \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 11.1.4

Factoriza

$x$ de

$x \sin^{2} (x)$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\cos^{2} (x)) + x (\sin^{2} (x)) + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 11.1.5

Factoriza

$x$ de

$x (\cos^{2} (x)) + x (\sin^{2} (x))$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 11.1.6

Reorganiza los términos.

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 11.1.7

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x \cdot 1 + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 11.1.8

Multiplica

$x$ por

$1$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 11.2

Reordena los términos.

$\frac{x \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + x + \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 11.3

Simplifica el numerador.

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Paso 11.3.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 11.3.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(x \cos (x) + \cos (x) \sin (x)) + x + \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 11.3.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{\cos (x) (x + \sin (x)) + 1 (x + \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 11.3.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor,

$x + \sin (x)$ .

$\frac{(x + \sin (x)) (\cos (x) + 1)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 11.4

Cancela el factor común de

$\cos (x) + 1$ y

${(1 + \cos (x))}^{2}$ .

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Paso 11.4.1

Reordena los términos.

$\frac{(x + \sin (x)) (1 + \cos (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 11.4.2

Factoriza

$1 + \cos (x)$ de

$(x + \sin (x)) (1 + \cos (x))$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x + \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 11.4.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.4.3.1

Factoriza

$1 + \cos (x)$ de

${(1 + \cos (x))}^{2}$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x + \sin (x))}{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Paso 11.4.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{(1 + \cos (x)) (x + \sin (x))}{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Paso 11.4.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x + \sin (x)}{1 + \cos (x)}$