Cálculo Ejemplos

$y = x e^{x} - 4 e^{- x}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $x e^{x} - 4 e^{- x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- x}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- x}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- x}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- x}]$

Paso 2.4

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- x}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 e^{- x}]$ .

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Paso 3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 e^{- x}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$x e^{x} + e^{x} - 4 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x$ .

$x e^{x} + e^{x} - 4 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} - 4 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$x e^{x} + e^{x} - 4 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 3.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x e^{x} + e^{x} - 4 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x e^{x} + e^{x} - 4 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Paso 3.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$x e^{x} + e^{x} - 4 (e^{- x} \cdot - 1)$

Paso 3.6

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$x e^{x} + e^{x} - 4 (- 1 \cdot e^{- x})$

Paso 3.7

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$x e^{x} + e^{x} - 4 (- e^{- x})$

Paso 3.8

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$x e^{x} + e^{x} + 4 e^{- x}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reordena los términos.

$e^{x} x + 4 e^{- x} + e^{x}$

Paso 4.2

Reordena los factores en $e^{x} x + 4 e^{- x} + e^{x}$ .

$x e^{x} + 4 e^{- x} + e^{x}$