Cálculo Ejemplos

$y = x e^{5 x}$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{5 x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{5 x}] + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 5 x$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 x$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x$ .

$x (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.1

Multiplica $5$ por $1$ .

$x (e^{5 x} \cdot 5) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3.2

Mueve $5$ a la izquierda de $e^{5 x}$ .

$x (5 \cdot e^{5 x}) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (5 e^{5 x}) + e^{5 x} \cdot 1$

Paso 3.5

Multiplica $e^{5 x}$ por $1$ .

$x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reordena los términos.

$5 e^{5 x} x + e^{5 x}$

Paso 4.2

Reordena los factores en $5 e^{5 x} x + e^{5 x}$ .

$5 x e^{5 x} + e^{5 x}$