Cálculo Ejemplos

$y = 10 e^{\sqrt{x}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [10 e^{x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 1.2

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10 e^{x^{\frac{1}{2}}}$ con respecto a $x$ es $10 \frac{d}{d x} [e^{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$10 \frac{d}{d x} [e^{x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$10 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$10 (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{1}{2}}$ .

$10 (e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$10 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$10 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$10 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$10 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$10 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Paso 7.2

Resta $2$ de $1$ .

$10 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Paso 8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$10 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Paso 9

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$10 e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 10

Combina $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $10$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 10}{2} e^{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 11

Combina $\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 10}{2}$ y $e^{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 10 e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Paso 12

Simplifica la expresión.

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Paso 12.1

Mueve $10$ a la izquierda de $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{10 \cdot x^{- \frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Paso 12.2

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{10 e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 13

Factoriza $2$ de $10 e^{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 (5 e^{x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 14

Cancela los factores comunes.

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Paso 14.1

Factoriza $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (5 e^{x^{\frac{1}{2}}})}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Paso 14.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (5 e^{x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 14.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5 e^{x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}}$