Cálculo Ejemplos

$y = x^{6} \ln (x) - \frac{1}{5} x^{5}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{6} \ln (x) - \frac{1}{5} x^{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{6} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{6} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{6} \ln (x)]$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{6}$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}]$

Paso 2.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$x^{6} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$x^{6} \frac{1}{x} + \ln (x) (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}]$

Paso 2.4

Combina $x^{6}$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{6}}{x} + \ln (x) (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}]$

Paso 2.5

Cancela el factor común de $x^{6}$ y $x$ .

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Paso 2.5.1

Factoriza $x$ de $x^{6}$ .

$\frac{x \cdot x^{5}}{x} + \ln (x) (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}]$

Paso 2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.5.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x \cdot x^{5}}{x^{1}} + \ln (x) (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}]$

Paso 2.5.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1} + \ln (x) (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}]$

Paso 2.5.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1} + \ln (x) (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}]$

Paso 2.5.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{5}}{1} + \ln (x) (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}]$

Paso 2.5.2.5

Divide $x^{5}$ por $1$ .

$x^{5} + \ln (x) (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}]$ .

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Paso 3.1

Como $- \frac{1}{5}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{1}{5} x^{5}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$x^{5} + \ln (x) (6 x^{5}) - \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$x^{5} + \ln (x) (6 x^{5}) - \frac{1}{5} (5 x^{4})$

Paso 3.3

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$x^{5} + \ln (x) (6 x^{5}) - 5 (\frac{1}{5}) x^{4}$

Paso 3.4

Combina $- 5$ y $\frac{1}{5}$ .

$x^{5} + \ln (x) (6 x^{5}) + \frac{- 5}{5} x^{4}$

Paso 3.5

Combina $\frac{- 5}{5}$ y $x^{4}$ .

$x^{5} + \ln (x) (6 x^{5}) + \frac{- 5 x^{4}}{5}$

Paso 3.6

Cancela el factor común de $- 5$ y $5$ .

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Paso 3.6.1

Factoriza $5$ de $- 5 x^{4}$ .

$x^{5} + \ln (x) (6 x^{5}) + \frac{5 (- x^{4})}{5}$

Paso 3.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.6.2.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$x^{5} + \ln (x) (6 x^{5}) + \frac{5 (- x^{4})}{5 (1)}$

Paso 3.6.2.2

Cancela el factor común.

$x^{5} + \ln (x) (6 x^{5}) + \frac{5 (- x^{4})}{5 \cdot 1}$

Paso 3.6.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{5} + \ln (x) (6 x^{5}) + \frac{- x^{4}}{1}$

Paso 3.6.2.4

Divide $- x^{4}$ por $1$ .

$x^{5} + \ln (x) (6 x^{5}) - x^{4}$

Paso 4

Reordena los términos.

$x^{5} - x^{4} + 6 x^{5} \ln (x)$