Cálculo Ejemplos

$y = x^{2} e^{x} - x e^{x}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} e^{x} - x e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x e^{x}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x e^{x}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x e^{x}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x e^{x}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x e^{x}]$ .

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Paso 3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x e^{x}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Paso 3.5

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - (x e^{x} + e^{x})$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - (x e^{x}) - e^{x}$

Paso 4.2

Combina los términos.

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Paso 4.2.1

Resta $x e^{x}$ de $e^{x} (2 x)$ .

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Paso 4.2.1.1

Mueve $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - x e^{x} - e^{x}$

Paso 4.2.1.2

Resta $x e^{x}$ de $2 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 1 x e^{x} - e^{x}$

Paso 4.2.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$x^{2} e^{x} + x e^{x} - e^{x}$

Paso 4.3

Reordena los términos.

$e^{x} x^{2} + e^{x} x - e^{x}$

Paso 4.4

Reordena los factores en $e^{x} x^{2} + e^{x} x - e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + x e^{x} - e^{x}$