Cálculo Ejemplos

$y = x^{\frac{10}{x}}$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar la diferenciación.

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Paso 1.1

Reescribe $x^{\frac{10}{x}}$ como $e^{\ln (x^{\frac{10}{x}})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\frac{10}{x}})}]$

Paso 1.2

Expande $\ln (x^{\frac{10}{x}})$ ; para ello, mueve $\frac{10}{x}$ fuera del logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{10}{x} \ln (x)}]$

Paso 2

Combina $\frac{10}{x}$ y $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{10 \ln (x)}{x}}]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \frac{10 \ln (x)}{x}$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{10 \ln (x)}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{10 \ln (x)}{x}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{10 \ln (x)}{x}]$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{10 \ln (x)}{x}$ .

$e^{\frac{10 \ln (x)}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{10 \ln (x)}{x}]$

Paso 4

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{10 \ln (x)}{x}$ con respecto a $x$ es $10 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$ .

$e^{\frac{10 \ln (x)}{x}} (10 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}])$

Paso 5

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x$ .

$e^{\frac{10 \ln (x)}{x}} (10 \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}})$

Paso 6

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$e^{\frac{10 \ln (x)}{x}} (10 \frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}})$

Paso 7

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 7.1

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$e^{\frac{10 \ln (x)}{x}} (10 \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}})$

Paso 7.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común.

$e^{\frac{10 \ln (x)}{x}} (10 \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}})$

Paso 7.2.2

Reescribe la expresión.

$e^{\frac{10 \ln (x)}{x}} (10 \frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}})$

Paso 7.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{\frac{10 \ln (x)}{x}} (10 \frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}})$

Paso 7.4

Combina fracciones.

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Paso 7.4.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e^{\frac{10 \ln (x)}{x}} (10 \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}})$

Paso 7.4.2

Combina $10$ y $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ .

$e^{\frac{10 \ln (x)}{x}} \frac{10 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$

Paso 7.4.3

Combina $e^{\frac{10 \ln (x)}{x}}$ y $\frac{10 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{10 \ln (x)}{x}} (10 (1 - \ln (x)))}{x^{2}}$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{\frac{10 \ln (x)}{x}} (10 \cdot 1 + 10 (- \ln (x)))}{x^{2}}$

Paso 8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{\frac{10 \ln (x)}{x}} (10 \cdot 1) + e^{\frac{10 \ln (x)}{x}} (10 (- \ln (x)))}{x^{2}}$

Paso 8.3

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.3.1.1

Simplifica $10 \ln (x)$ al mover $10$ dentro del algoritmo.

$\frac{e^{\frac{\ln (x^{10})}{x}} (10 \cdot 1) + e^{\frac{10 \ln (x)}{x}} (10 (- \ln (x)))}{x^{2}}$

Paso 8.3.1.2

Multiplica $10$ por $1$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (x^{10})}{x}} \cdot 10 + e^{\frac{10 \ln (x)}{x}} (10 (- \ln (x)))}{x^{2}}$

Paso 8.3.1.3

Mueve $10$ a la izquierda de $e^{\frac{\ln (x^{10})}{x}}$ .

$\frac{10 \cdot e^{\frac{\ln (x^{10})}{x}} + e^{\frac{10 \ln (x)}{x}} (10 (- \ln (x)))}{x^{2}}$

Paso 8.3.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{10 e^{\frac{\ln (x^{10})}{x}} + 10 \cdot - 1 e^{\frac{10 \ln (x)}{x}} \ln (x)}{x^{2}}$

Paso 8.3.1.5

Multiplica $10$ por $- 1$ .

$\frac{10 e^{\frac{\ln (x^{10})}{x}} - 10 e^{\frac{10 \ln (x)}{x}} \ln (x)}{x^{2}}$

Paso 8.3.1.6

Simplifica $10 \ln (x)$ al mover $10$ dentro del algoritmo.

$\frac{10 e^{\frac{\ln (x^{10})}{x}} - 10 e^{\frac{\ln (x^{10})}{x}} \ln (x)}{x^{2}}$

Paso 8.3.1.7

Multiplica $- 10 e^{\frac{\ln (x^{10})}{x}} \ln (x)$ .

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Paso 8.3.1.7.1

Reordena $\ln (x)$ y $- 10$ .

$\frac{10 e^{\frac{\ln (x^{10})}{x}} - 10 \cdot \ln (x) e^{\frac{\ln (x^{10})}{x}}}{x^{2}}$

Paso 8.3.1.7.2

Simplifica $- 10 \cdot \ln (x)$ al mover $10$ dentro del algoritmo.

$\frac{10 e^{\frac{\ln (x^{10})}{x}} - \ln (x^{10}) e^{\frac{\ln (x^{10})}{x}}}{x^{2}}$

Paso 8.3.2

Reordena los factores en $10 e^{\frac{\ln (x^{10})}{x}} - \ln (x^{10}) e^{\frac{\ln (x^{10})}{x}}$ .

$\frac{10 e^{\frac{\ln (x^{10})}{x}} - e^{\frac{\ln (x^{10})}{x}} \ln (x^{10})}{x^{2}}$

Paso 8.4

Reordena los términos.

$\frac{- e^{\frac{\ln (x^{10})}{x}} \ln (x^{10}) + 10 e^{\frac{\ln (x^{10})}{x}}}{x^{2}}$