Cálculo Ejemplos

$y = \sqrt[3]{x} + \frac{4}{x} + \sqrt{x}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $\sqrt[3]{x} + \frac{4}{x} + \sqrt{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]$ .

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Paso 2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Paso 2.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Paso 2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Paso 2.6.2

Resta $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Paso 2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$ .

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Paso 3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4}{x}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Paso 3.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + 4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + 4 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Paso 3.4

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - 4 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Paso 4

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Paso 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - 4 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - 4 x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Paso 4.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - 4 x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Paso 4.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - 4 x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - 4 x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 4.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - 4 x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Paso 4.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - 4 x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Paso 4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - 4 x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} - 4 x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Paso 5.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} - 4 \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Paso 5.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} - 4 \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.4

Combina los términos.

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Paso 5.4.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 4 \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.4.2

Combina $- 4$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{- 4}{x^{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{x^{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.4.4

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{x^{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.5

Reordena los términos.

$- \frac{4}{x^{2}} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$