Cálculo Ejemplos

$y = \sqrt[4]{5 x}$

Paso 1

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{5 x}$ como ${(5 x)}^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(5 x)}^{\frac{1}{4}}]$

Paso 1.2

Factoriza $5$ de $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(5 (x))}^{\frac{1}{4}}]$

Paso 1.3

Aplica la regla del producto a $5 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{4}}]$

Paso 2

Como $5^{\frac{1}{4}}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{4}}$ con respecto a $x$ es $5^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$ .

$5^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{4}$ .

$5^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1})$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$5^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{4}{4}$ .

$5^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$5^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}})$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$5^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 4}{4}})$

Paso 7.2

Resta $4$ de $1$ .

$5^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{4} x^{\frac{- 3}{4}})$

Paso 8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$5^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}})$

Paso 9

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{- \frac{3}{4}}$ .

$5^{\frac{1}{4}} \frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Paso 10

Combina $5^{\frac{1}{4}}$ y $\frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{4}} x^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Paso 11

Mueve $x^{- \frac{3}{4}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{4}}}{4 x^{\frac{3}{4}}}$