Cálculo Ejemplos

$y = - \sqrt{x + 2} - 4$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $- \sqrt{x + 2} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 2}]$ .

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 2}$ como ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [- {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x + 2$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 2$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 2$ .

$- (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.4

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [2])) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.6

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.10

Simplifica el numerador.

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Paso 2.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.10.2

Resta $2$ de $1$ .

$- (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.12

Suma $1$ y $0$ .

$- (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.13

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- (\frac{{(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.14

Multiplica $\frac{{(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ por $1$ .

$- \frac{{(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.15

Mueve ${(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + 0$

Paso 3.2

Suma $- \frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ y $0$ .

$- \frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$