Cálculo Ejemplos

$y = \sqrt{\ln (x)}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{\ln (x)}$ como ${\ln (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{\ln (x)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = \ln (x)$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\ln (x)$ .

$\frac{1}{2} {\ln (x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\ln (x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\ln (x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {\ln (x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {\ln (x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {\ln (x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 7

Combina fracciones.

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Paso 7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {\ln (x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${\ln (x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{\ln (x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 7.3

Mueve ${\ln (x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 8

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 9

Combina fracciones.

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Paso 9.1

Multiplica $\frac{1}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x}$

Paso 9.2

Reordena los términos.

$\frac{1}{2 x {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}}$