Cálculo Ejemplos

$y = \sqrt{\sec (3 x)}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{\sec (3 x)}$ como ${\sec (3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{\sec (3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = \sec (3 x)$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\sec (3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\sec (3 x)$ .

$\frac{1}{2} {\sec (3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\sec (3 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\sec (3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {\sec (3 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {\sec (3 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Paso 6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {\sec (3 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Paso 7

Combina fracciones.

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Paso 7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {\sec (3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Paso 7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${\sec (3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{\sec (3 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Paso 7.3

Mueve ${\sec (3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {\sec (3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Paso 8

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sec (x)$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 8.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $3 x$ .

$\frac{1}{2 {\sec (3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 8.2

La derivada de $\sec (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\frac{1}{2 {\sec (3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 8.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $3 x$ .

$\frac{1}{2 {\sec (3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 9

Combina fracciones.

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Paso 9.1

Combina $\sec (3 x)$ y $\frac{1}{2 {\sec (3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\sec (3 x)}{2 {\sec (3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 9.2

Combina $\tan (3 x)$ y $\frac{\sec (3 x)}{2 {\sec (3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\tan (3 x) \sec (3 x)}{2 {\sec (3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 9.3

Mueve ${\sec (3 x)}^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\tan (3 x) \sec (3 x) {\sec (3 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 10

Multiplica $\sec (3 x)$ por ${\sec (3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 10.1

Mueve ${\sec (3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{\tan (3 x) ({\sec (3 x)}^{- \frac{1}{2}} \sec (3 x))}{2} \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 10.2

Multiplica ${\sec (3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ por $\sec (3 x)$ .

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Paso 10.2.1

Eleva $\sec (3 x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\tan (3 x) ({\sec (3 x)}^{- \frac{1}{2}} \sec^{1} (3 x))}{2} \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 10.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\tan (3 x) {\sec (3 x)}^{- \frac{1}{2} + 1}}{2} \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 10.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{\tan (3 x) {\sec (3 x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 10.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\tan (3 x) {\sec (3 x)}^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 10.5

Suma $- 1$ y $2$ .

$\frac{\tan (3 x) {\sec (3 x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 11

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\tan (3 x) {\sec (3 x)}^{\frac{1}{2}}}{2} (3 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 12

Combina $3$ y $\frac{\tan (3 x) {\sec (3 x)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 (\tan (3 x) {\sec (3 x)}^{\frac{1}{2}})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{3 \tan (3 x) {\sec (3 x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot 1$

Paso 14

Simplifica la expresión.

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Paso 14.1

Multiplica $\frac{3 \tan (3 x) {\sec (3 x)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ por $1$ .

$\frac{3 \tan (3 x) {\sec (3 x)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 14.2

Reordena los factores en $3 \tan (3 x) {\sec (3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {\sec (3 x)}^{\frac{1}{2}} \tan (3 x)}{2}$