Cálculo Ejemplos

$y = \sqrt{x} + \frac{1}{x}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $\sqrt{x} + \frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 2.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Paso 3.1

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 2}$

Paso 4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - x^{- 2}$

Paso 5

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{2}}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{2}}$

Paso 6.2

Reordena los términos.

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$