Cálculo Ejemplos

$y = \frac{- x^{2} - 4 x - 7}{x + 3}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = - x^{2} - 4 x - 7$ y $g (x) = x + 3$ .

$\frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [- x^{2} - 4 x - 7] - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- x^{2} - 4 x - 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{(x + 3) (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 2.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x + 3) (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x + 3) (- (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 2.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{(x + 3) (- 2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 2.5

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 2.7

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 2.8

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4 + 0) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 2.9

Suma $- 2 x - 4$ y $0$ .

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 2.10

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4) - (- x^{2} - 4 x - 7) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 2.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4) - (- x^{2} - 4 x - 7) (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 2.12

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4) - (- x^{2} - 4 x - 7) (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 2.13

Simplifica la expresión.

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Paso 2.13.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4) - (- x^{2} - 4 x - 7) \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 2.13.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4) - (- x^{2} - 4 x - 7)}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4) - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Expande $(x + 3) (- 2 x - 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (- 2 x - 4) + 3 (- 2 x - 4) - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 3.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (- 2 x) + x \cdot - 4 + 3 (- 2 x - 4) - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 3.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (- 2 x) + x \cdot - 4 + 3 (- 2 x) + 3 \cdot - 4 - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 3.2.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{- 2 x \cdot x + x \cdot - 4 + 3 (- 2 x) + 3 \cdot - 4 - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 3.2.1.2.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.1.2.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{- 2 (x \cdot x) + x \cdot - 4 + 3 (- 2 x) + 3 \cdot - 4 - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 3.2.1.2.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{- 2 x^{2} + x \cdot - 4 + 3 (- 2 x) + 3 \cdot - 4 - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 3.2.1.2.1.3

Mueve $- 4$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 4 \cdot x + 3 (- 2 x) + 3 \cdot - 4 - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 3.2.1.2.1.4

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 4 x - 6 x + 3 \cdot - 4 - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 3.2.1.2.1.5

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 4 x - 6 x - 12 - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 3.2.1.2.2

Resta $6 x$ de $- 4 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 10 x - 12 - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 3.2.1.3

Multiplica $- - x^{2}$ .

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Paso 3.2.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 10 x - 12 + 1 x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 3.2.1.3.2

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 10 x - 12 + x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 3.2.1.4

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 10 x - 12 + x^{2} + 4 x - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 3.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 7$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 10 x - 12 + x^{2} + 4 x + 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 3.2.2

Suma $- 2 x^{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - 10 x - 12 + 4 x + 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 3.2.3

Suma $- 10 x$ y $4 x$ .

$\frac{- x^{2} - 6 x - 12 + 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 3.2.4

Suma $- 12$ y $7$ .

$\frac{- x^{2} - 6 x - 5}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 3.3

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot - 5 = 5$ y cuya suma es $b = - 6$ .

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Paso 3.3.1.1

Factoriza $- 6$ de $- 6 x$ .

$\frac{- x^{2} - 6 (x) - 5}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 3.3.1.2

Reescribe $- 6$ como $- 1$ más $- 5$

$\frac{- x^{2} + (- 1 - 5) x - 5}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x^{2} - 1 x - 5 x - 5}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(- x^{2} - 1 x) - 5 x - 5}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 3.3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x (- x - 1) + 5 (- x - 1)}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 3.3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x - 1$ .

$\frac{(- x - 1) (x + 5)}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 3.4

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{(- (x) - 1) (x + 5)}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 3.5

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (1)) (x + 5)}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 3.6

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (x + 1) (x + 5)}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 3.7

Reescribe $- (x + 1)$ como $- 1 (x + 1)$ .

$\frac{- 1 (x + 1) (x + 5)}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{(x + 1) (x + 5)}{{(x + 3)}^{2}}$