Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x^{4}}{4 - x^{3}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = 4 - x^{3}$ .

$\frac{(4 - x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [4 - x^{3}]}{{(4 - x^{3})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{(4 - x^{3}) (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} [4 - x^{3}]}{{(4 - x^{3})}^{2}}$

Paso 2.2

Mueve $4$ a la izquierda de $4 - x^{3}$ .

$\frac{4 \cdot (4 - x^{3}) x^{3} - x^{4} \frac{d}{d x} [4 - x^{3}]}{{(4 - x^{3})}^{2}}$

Paso 2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $4 - x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{4 (4 - x^{3}) x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])}{{(4 - x^{3})}^{2}}$

Paso 2.4

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{4 (4 - x^{3}) x^{3} - x^{4} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])}{{(4 - x^{3})}^{2}}$

Paso 2.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{4 (4 - x^{3}) x^{3} - x^{4} \frac{d}{d x} [- x^{3}]}{{(4 - x^{3})}^{2}}$

Paso 2.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{4 (4 - x^{3}) x^{3} - x^{4} (- \frac{d}{d x} [x^{3}])}{{(4 - x^{3})}^{2}}$

Paso 2.7

Multiplica.

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Paso 2.7.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{4 (4 - x^{3}) x^{3} + 1 x^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(4 - x^{3})}^{2}}$

Paso 2.7.2

Multiplica $x^{4}$ por $1$ .

$\frac{4 (4 - x^{3}) x^{3} + x^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(4 - x^{3})}^{2}}$

Paso 2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{4 (4 - x^{3}) x^{3} + x^{4} (3 x^{2})}{{(4 - x^{3})}^{2}}$

Paso 3

Multiplica $x^{4}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{4 (4 - x^{3}) x^{3} + x^{2} x^{4} \cdot 3}{{(4 - x^{3})}^{2}}$

Paso 3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 (4 - x^{3}) x^{3} + x^{2 + 4} \cdot 3}{{(4 - x^{3})}^{2}}$

Paso 3.3

Suma $2$ y $4$ .

$\frac{4 (4 - x^{3}) x^{3} + x^{6} \cdot 3}{{(4 - x^{3})}^{2}}$

Paso 4

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{6}$ .

$\frac{4 (4 - x^{3}) x^{3} + 3 \cdot x^{6}}{{(4 - x^{3})}^{2}}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(4 \cdot 4 + 4 (- x^{3})) x^{3} + 3 x^{6}}{{(4 - x^{3})}^{2}}$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 \cdot 4 x^{3} + 4 (- x^{3}) x^{3} + 3 x^{6}}{{(4 - x^{3})}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1.1

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{16 x^{3} + 4 (- x^{3}) x^{3} + 3 x^{6}}{{(4 - x^{3})}^{2}}$

Paso 5.3.1.2

Multiplica $x^{3}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.1.2.1

Mueve $x^{3}$ .

$\frac{16 x^{3} + 4 (- (x^{3} x^{3})) + 3 x^{6}}{{(4 - x^{3})}^{2}}$

Paso 5.3.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{16 x^{3} + 4 (- x^{3 + 3}) + 3 x^{6}}{{(4 - x^{3})}^{2}}$

Paso 5.3.1.2.3

Suma $3$ y $3$ .

$\frac{16 x^{3} + 4 (- x^{6}) + 3 x^{6}}{{(4 - x^{3})}^{2}}$

Paso 5.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{16 x^{3} - 4 x^{6} + 3 x^{6}}{{(4 - x^{3})}^{2}}$

Paso 5.3.2

Suma $- 4 x^{6}$ y $3 x^{6}$ .

$\frac{16 x^{3} - x^{6}}{{(4 - x^{3})}^{2}}$

Paso 5.4

Reordena los términos.

$\frac{- x^{6} + 16 x^{3}}{{(- x^{3} + 4)}^{2}}$

Paso 5.5

Factoriza $x^{3}$ de $- x^{6} + 16 x^{3}$ .

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Paso 5.5.1

Factoriza $x^{3}$ de $- x^{6}$ .

$\frac{x^{3} (- x^{3}) + 16 x^{3}}{{(- x^{3} + 4)}^{2}}$

Paso 5.5.2

Factoriza $x^{3}$ de $16 x^{3}$ .

$\frac{x^{3} (- x^{3}) + x^{3} \cdot 16}{{(- x^{3} + 4)}^{2}}$

Paso 5.5.3

Factoriza $x^{3}$ de $x^{3} (- x^{3}) + x^{3} \cdot 16$ .

$\frac{x^{3} (- x^{3} + 16)}{{(- x^{3} + 4)}^{2}}$

Paso 5.6

Factoriza $- 1$ de $- x^{3}$ .

$\frac{x^{3} (- (x^{3}) + 16)}{{(- x^{3} + 4)}^{2}}$

Paso 5.7

Reescribe $16$ como $- 1 (- 16)$ .

$\frac{x^{3} (- (x^{3}) - 1 (- 16))}{{(- x^{3} + 4)}^{2}}$

Paso 5.8

Factoriza $- 1$ de $- (x^{3}) - 1 (- 16)$ .

$\frac{x^{3} (- (x^{3} - 16))}{{(- x^{3} + 4)}^{2}}$

Paso 5.9

Reescribe $- (x^{3} - 16)$ como $- 1 (x^{3} - 16)$ .

$\frac{x^{3} (- 1 (x^{3} - 16))}{{(- x^{3} + 4)}^{2}}$

Paso 5.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x^{3} (x^{3} - 16)}{{(- x^{3} + 4)}^{2}}$