Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x^{3}}{3} \cdot \ln (x) - \frac{x^{3}}{9}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x^{3}}{3} \cdot \ln (x) - \frac{x^{3}}{9}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3} \cdot \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3} \cdot \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3} \cdot \ln (x)]$ .

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Paso 2.1

Combina $\frac{x^{3}}{3}$ y $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} \ln (x)}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Paso 2.2

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{3} \ln (x)}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (x)]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{1}{3} (x^{3} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Paso 2.4

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{3} (x^{3} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (x^{3} \frac{1}{x} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Paso 2.6

Combina $x^{3}$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Paso 2.7

Cancela el factor común de $x^{3}$ y $x$ .

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Paso 2.7.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{x \cdot x^{2}}{x} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Paso 2.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.7.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Paso 2.7.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Paso 2.7.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} (\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Paso 2.7.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} (\frac{x^{2}}{1} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Paso 2.7.2.5

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$ .

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Paso 3.1

Como $- \frac{1}{9}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{x^{3}}{9}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) - \frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) - \frac{1}{9} (3 x^{2})$

Paso 3.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) - 3 (\frac{1}{9}) x^{2}$

Paso 3.4

Combina $- 3$ y $\frac{1}{9}$ .

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{- 3}{9} x^{2}$

Paso 3.5

Combina $\frac{- 3}{9}$ y $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{- 3 x^{2}}{9}$

Paso 3.6

Cancela el factor común de $- 3$ y $9$ .

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Paso 3.6.1

Factoriza $3$ de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{3 (- x^{2})}{9}$

Paso 3.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.6.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{3 (- x^{2})}{3 (3)}$

Paso 3.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{3 (- x^{2})}{3 \cdot 3}$

Paso 3.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{- x^{2}}{3}$

Paso 3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) - \frac{x^{2}}{3}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{3} x^{2} + \frac{1}{3} (\ln (x) (3 x^{2})) - \frac{x^{2}}{3}$

Paso 4.2

Combina los términos.

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Paso 4.2.1

Combina $\ln (x)$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{2} + \frac{\ln (x)}{3} (3 x^{2}) - \frac{x^{2}}{3}$

Paso 4.2.2

Combina $3$ y $\frac{\ln (x)}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{2} + \frac{3 \ln (x)}{3} x^{2} - \frac{x^{2}}{3}$

Paso 4.2.3

Combina $\frac{3 \ln (x)}{3}$ y $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{2} + \frac{3 \ln (x) x^{2}}{3} - \frac{x^{2}}{3}$

Paso 4.2.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} x^{2} + \frac{3 \ln (x) x^{2}}{3} - \frac{x^{2}}{3}$

Paso 4.2.4.2

Divide $\ln (x) x^{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{3} x^{2} + \ln (x) x^{2} - \frac{x^{2}}{3}$

Paso 4.2.5

Para escribir $\frac{1}{3} x^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\ln (x) x^{2} + \frac{1}{3} x^{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{x^{2}}{3}$

Paso 4.2.6

Combina $\frac{1}{3} x^{2}$ y $\frac{3}{3}$ .

$\ln (x) x^{2} + \frac{\frac{1}{3} x^{2} \cdot 3}{3} - \frac{x^{2}}{3}$

Paso 4.2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\ln (x) x^{2} + \frac{\frac{1}{3} x^{2} \cdot 3 - x^{2}}{3}$

Paso 4.2.8

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{2}$ .

$\ln (x) x^{2} + \frac{\frac{x^{2}}{3} \cdot 3 - x^{2}}{3}$

Paso 4.2.9

Combina $\frac{x^{2}}{3}$ y $3$ .

$\ln (x) x^{2} + \frac{\frac{x^{2} \cdot 3}{3} - x^{2}}{3}$

Paso 4.2.10

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\ln (x) x^{2} + \frac{\frac{3 \cdot x^{2}}{3} - x^{2}}{3}$

Paso 4.2.11

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.11.1

Cancela el factor común.

$\ln (x) x^{2} + \frac{\frac{3 x^{2}}{3} - x^{2}}{3}$

Paso 4.2.11.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$\ln (x) x^{2} + \frac{x^{2} - x^{2}}{3}$

Paso 4.2.12

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\ln (x) x^{2} + \frac{0}{3}$

Paso 4.2.13

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

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Paso 4.2.13.1

Factoriza $3$ de $0$ .

$\ln (x) x^{2} + \frac{3 (0)}{3}$

Paso 4.2.13.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.13.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\ln (x) x^{2} + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}$

Paso 4.2.13.2.2

Cancela el factor común.

$\ln (x) x^{2} + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}$

Paso 4.2.13.2.3

Reescribe la expresión.

$\ln (x) x^{2} + \frac{0}{1}$

Paso 4.2.13.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$\ln (x) x^{2} + 0$

Paso 4.2.14

Suma $\ln (x) x^{2}$ y $0$ .

$\ln (x) x^{2}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $\ln (x) x^{2}$ .

$x^{2} \ln (x)$