Cálculo Ejemplos

$y = \frac{1}{\sqrt[3]{x + \sqrt{x}}}$

Paso 1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt[3]{x + x^{\frac{1}{2}}}}]$

Paso 1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x + x^{\frac{1}{2}}}$ como ${(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3}}}]$

Paso 1.3

Reescribe $\frac{1}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3}}}$ como ${({(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Paso 1.4

Multiplica los exponentes en ${({(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Paso 1.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

Paso 1.4.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{- 1}{3}}]$

Paso 1.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{3}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ y $g (x) = x + x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{3} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{1}{3} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- \frac{1}{3} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 6.2

Resta $3$ de $- 1$ .

$- \frac{1}{3} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 7

Combina fracciones.

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Paso 7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{3} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 7.2

Combina ${(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{4}{3}}$ y $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{4}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 7.3

Mueve ${(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{4}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 8

Según la regla de la suma, la derivada de $x + x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 11

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 12

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 14

Simplifica el numerador.

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Paso 14.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Paso 14.2

Resta $2$ de $1$ .

$- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Paso 15

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Paso 16

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Paso 17

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 18

Simplifica.

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Paso 18.1

Reordena los factores de $- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ .

$- (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 18.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(- 1 \cdot 1 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 18.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$(- 1 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 18.4

Multiplica $- 1 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{- 1 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 18.5

Simplifica el numerador.

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Paso 18.5.1

Factoriza $- 1$ de $- 1 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

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Paso 18.5.1.1

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 18.5.1.2

Factoriza $- 1$ de $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 1 (1) - (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 18.5.1.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ .

$\frac{- 1 (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 18.5.1.4

Reescribe $- 1 (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ como $- (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ .

$\frac{- (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 18.5.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{- (\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 18.5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 18.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 18.7

Multiplica $- \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$ .

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Paso 18.7.1

Multiplica $\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$ por $\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}} (2 x^{\frac{1}{2}})}$

Paso 18.7.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$- \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{6 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}} x^{\frac{1}{2}}}$