Cálculo Ejemplos

Hallar la concavidad x^5 logaritmo natural de x
Paso 1
Escribe como una función.
Paso 2
Find the values where the second derivative is equal to .
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Paso 2.1
Obtener la segunda derivada.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.1.1
Obtén la primera derivada.
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Paso 2.1.1.1
Diferencia con la regla del producto, que establece que es donde y .
Paso 2.1.1.2
La derivada de con respecto a es .
Paso 2.1.1.3
Diferencia con la regla de la potencia.
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Paso 2.1.1.3.1
Combina y .
Paso 2.1.1.3.2
Cancela el factor común de y .
Toca para ver más pasos...
Paso 2.1.1.3.2.1
Factoriza de .
Paso 2.1.1.3.2.2
Cancela los factores comunes.
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Paso 2.1.1.3.2.2.1
Eleva a la potencia de .
Paso 2.1.1.3.2.2.2
Factoriza de .
Paso 2.1.1.3.2.2.3
Cancela el factor común.
Paso 2.1.1.3.2.2.4
Reescribe la expresión.
Paso 2.1.1.3.2.2.5
Divide por .
Paso 2.1.1.3.3
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 2.1.1.3.4
Reordena los términos.
Paso 2.1.2
Obtener la segunda derivada.
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Paso 2.1.2.1
Diferencia.
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Paso 2.1.2.1.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 2.1.2.1.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 2.1.2.2
Evalúa .
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Paso 2.1.2.2.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 2.1.2.2.2
Diferencia con la regla del producto, que establece que es donde y .
Paso 2.1.2.2.3
La derivada de con respecto a es .
Paso 2.1.2.2.4
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 2.1.2.2.5
Combina y .
Paso 2.1.2.2.6
Cancela el factor común de y .
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Paso 2.1.2.2.6.1
Factoriza de .
Paso 2.1.2.2.6.2
Cancela los factores comunes.
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Paso 2.1.2.2.6.2.1
Eleva a la potencia de .
Paso 2.1.2.2.6.2.2
Factoriza de .
Paso 2.1.2.2.6.2.3
Cancela el factor común.
Paso 2.1.2.2.6.2.4
Reescribe la expresión.
Paso 2.1.2.2.6.2.5
Divide por .
Paso 2.1.2.3
Simplifica.
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Paso 2.1.2.3.1
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 2.1.2.3.2
Combina los términos.
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Paso 2.1.2.3.2.1
Multiplica por .
Paso 2.1.2.3.2.2
Suma y .
Paso 2.1.2.3.3
Reordena los términos.
Paso 2.1.3
La segunda derivada de con respecto a es .
Paso 2.2
Establece la segunda derivada igual a luego resuelve la ecuación .
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Paso 2.2.1
Establece la segunda derivada igual a .
Paso 2.2.2
Resta de ambos lados de la ecuación.
Paso 2.2.3
Divide cada término en por y simplifica.
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Paso 2.2.3.1
Divide cada término en por .
Paso 2.2.3.2
Simplifica el lado izquierdo.
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Paso 2.2.3.2.1
Cancela el factor común de .
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Paso 2.2.3.2.1.1
Cancela el factor común.
Paso 2.2.3.2.1.2
Reescribe la expresión.
Paso 2.2.3.2.2
Cancela el factor común de .
Toca para ver más pasos...
Paso 2.2.3.2.2.1
Cancela el factor común.
Paso 2.2.3.2.2.2
Divide por .
Paso 2.2.3.3
Simplifica el lado derecho.
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Paso 2.2.3.3.1
Cancela el factor común de .
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Paso 2.2.3.3.1.1
Cancela el factor común.
Paso 2.2.3.3.1.2
Reescribe la expresión.
Paso 2.2.3.3.2
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 2.2.4
Para resolver , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.
Paso 2.2.5
Reescribe en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si y son números reales positivos y , entonces es equivalente a .
Paso 2.2.6
Resuelve
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Paso 2.2.6.1
Reescribe la ecuación como .
Paso 2.2.6.2
Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo .
Paso 3
Obtén el dominio de .
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Paso 3.1
Establece el argumento en mayor que para obtener el lugar donde está definida la expresión.
Paso 3.2
El dominio son todos los valores de que hacen que la expresión sea definida.
Notación de intervalo:
Notación del constructor de conjuntos:
Notación de intervalo:
Notación del constructor de conjuntos:
Paso 4
Crea intervalos alrededor de los valores de donde la segunda derivada es cero o indefinida.
Paso 5
Sustituye cualquier número del intervalo en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.
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Paso 5.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 5.2
Simplifica el resultado.
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Paso 5.2.1
Simplifica cada término.
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Paso 5.2.1.1
Eleva a la potencia de .
Paso 5.2.1.2
Multiplica por .
Paso 5.2.1.3
Eleva a la potencia de .
Paso 5.2.1.4
Multiplica por .
Paso 5.2.1.5
Simplifica al mover dentro del algoritmo.
Paso 5.2.1.6
Eleva a la potencia de .
Paso 5.2.2
Suma y .
Paso 5.2.3
La respuesta final es .
Paso 5.3
La gráfica es cóncava en el intervalo porque es negativa.
Cóncavo en dado que es negativo
Cóncavo en dado que es negativo
Paso 6
Sustituye cualquier número del intervalo en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.
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Paso 6.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 6.2
Simplifica el resultado.
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Paso 6.2.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 6.2.1.1
Eleva a la potencia de .
Paso 6.2.1.2
Multiplica por .
Paso 6.2.1.3
Eleva a la potencia de .
Paso 6.2.1.4
Multiplica por .
Paso 6.2.1.5
Simplifica al mover dentro del algoritmo.
Paso 6.2.2
La respuesta final es .
Paso 6.3
La gráfica es convexa en el intervalo porque es positiva.
Convexo en dado que es positivo
Convexo en dado que es positivo
Paso 7
La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.
Cóncavo en dado que es negativo
Convexo en dado que es positivo
Paso 8