Cálculo Ejemplos

$y = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$

Paso 1

Escribe $y = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ como una función.

$f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{5}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$f' (x) = 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2.1.2.3

Multiplica $5$ por $3$ .

$f' (x) = 15 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $3$ por $- 5$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 15 x^{2} + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 15 x^{2} + 0$

Paso 2.1.4.2

Suma $15 x^{4} - 15 x^{2}$ y $0$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 15 x^{2}$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $15 x^{4} - 15 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

Paso 2.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ .

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Paso 2.2.2.1

Como $15$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $15 x^{4}$ con respecto a $x$ es $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 15 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f'' (x) = 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

Paso 2.2.2.3

Multiplica $4$ por $15$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

Paso 2.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.3.1

Como $- 15$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 15 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 15 \frac{d}{d x} x^{2}$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 15 (2 x)$

Paso 2.2.3.3

Multiplica $2$ por $- 15$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 30 x$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $60 x^{3} - 30 x$ .

$60 x^{3} - 30 x$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $60 x^{3} - 30 x = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$60 x^{3} - 30 x = 0$

Paso 3.2

Factoriza $30 x$ de $60 x^{3} - 30 x$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $30 x$ de $60 x^{3}$ .

$30 x (2 x^{2}) - 30 x = 0$

Paso 3.2.2

Factoriza $30 x$ de $- 30 x$ .

$30 x (2 x^{2}) + 30 x (- 1) = 0$

Paso 3.2.3

Factoriza $30 x$ de $30 x (2 x^{2}) + 30 x (- 1)$ .

$30 x (2 x^{2} - 1) = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$2 x^{2} - 1 = 0$

Paso 3.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 3.5

Establece $2 x^{2} - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.1

Establece $2 x^{2} - 1$ igual a $0$ .

$2 x^{2} - 1 = 0$

Paso 3.5.2

Resuelve $2 x^{2} - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.5.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} = 1$

Paso 3.5.2.2

Divide cada término en $2 x^{2} = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.5.2.2.1

Divide cada término en $2 x^{2} = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 3.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 3.5.2.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{2}$

Paso 3.5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Paso 3.5.2.4

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 3.5.2.4.1

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Paso 3.5.2.4.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Paso 3.5.2.4.3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 3.5.2.4.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.5.2.4.4.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 3.5.2.4.4.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 3.5.2.4.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 3.5.2.4.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 3.5.2.4.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 3.5.2.4.4.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 3.5.2.4.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.5.2.4.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.5.2.4.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.5.2.4.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.2.4.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.5.2.4.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 3.5.2.4.4.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 3.5.2.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.5.2.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 3.5.2.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 3.5.2.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $30 x (2 x^{2} - 1) = 0$ verdadera.

$x = 0, \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $0$ en $f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = 3 {(0)}^{5} - 5 {(0)}^{3} + 1$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 3 \cdot 0 - 5 {(0)}^{3} + 1$

Paso 4.1.2.1.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$f (0) = 0 - 5 {(0)}^{3} + 1$

Paso 4.1.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 - 5 \cdot 0 + 1$

Paso 4.1.2.1.4

Multiplica $- 5$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 1$

Paso 4.1.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 4.1.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0 + 1$

Paso 4.1.2.2.2

Suma $0$ y $1$ .

$f (0) = 1$

Paso 4.1.2.3

La respuesta final es $1$ .

$1$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0$ en $f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ es $(0, 1)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0, 1)$

Paso 4.3

Sustituye $\frac{\sqrt{2}}{2}$ en $f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{\sqrt{2}}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{5} - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Paso 4.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{{\sqrt{2}}^{5}}{2^{5}}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Paso 4.3.2.1.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.2.1.2.1

Reescribe ${\sqrt{2}}^{5}$ como $\sqrt{2^{5}}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{\sqrt{2^{5}}}{2^{5}}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Paso 4.3.2.1.2.2

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{\sqrt{32}}{2^{5}}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Paso 4.3.2.1.2.3

Reescribe $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

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Paso 4.3.2.1.2.3.1

Factoriza $16$ de $32$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{\sqrt{16 (2)}}{2^{5}}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Paso 4.3.2.1.2.3.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2^{5}}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Paso 4.3.2.1.2.4

Retira los términos de abajo del radical.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{4 \sqrt{2}}{2^{5}}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Paso 4.3.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{4 \sqrt{2}}{32}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Paso 4.3.2.1.4

Cancela el factor común de $4$ y $32$ .

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Paso 4.3.2.1.4.1

Factoriza $4$ de $4 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{4 (\sqrt{2})}{32}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Paso 4.3.2.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.2.1.4.2.1

Factoriza $4$ de $32$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 8}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Paso 4.3.2.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 8}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Paso 4.3.2.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{\sqrt{2}}{8}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Paso 4.3.2.1.5

Combina $3$ y $\frac{\sqrt{2}}{8}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Paso 4.3.2.1.6

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}} + 1$

Paso 4.3.2.1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.2.1.7.1

Reescribe ${\sqrt{2}}^{3}$ como $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{\sqrt{2^{3}}}{2^{3}} + 1$

Paso 4.3.2.1.7.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{\sqrt{8}}{2^{3}} + 1$

Paso 4.3.2.1.7.3

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 4.3.2.1.7.3.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{\sqrt{4 (2)}}{2^{3}} + 1$

Paso 4.3.2.1.7.3.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2^{3}} + 1$

Paso 4.3.2.1.7.4

Retira los términos de abajo del radical.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{2 \sqrt{2}}{2^{3}} + 1$

Paso 4.3.2.1.8

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{2 \sqrt{2}}{8} + 1$

Paso 4.3.2.1.9

Cancela el factor común de $2$ y $8$ .

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Paso 4.3.2.1.9.1

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{2 (\sqrt{2})}{8} + 1$

Paso 4.3.2.1.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.2.1.9.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4} + 1$

Paso 4.3.2.1.9.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4} + 1$

Paso 4.3.2.1.9.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{\sqrt{2}}{4} + 1$

Paso 4.3.2.1.10

Combina $- 5$ y $\frac{\sqrt{2}}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} + \frac{- 5 \sqrt{2}}{4} + 1$

Paso 4.3.2.1.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - \frac{5 \sqrt{2}}{4} + 1$

Paso 4.3.2.2

Para escribir $- \frac{5 \sqrt{2}}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - \frac{5 \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{2}{2} + 1$

Paso 4.3.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $8$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.3.2.3.1

Multiplica $\frac{5 \sqrt{2}}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - \frac{5 \sqrt{2} \cdot 2}{4 \cdot 2} + 1$

Paso 4.3.2.3.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - \frac{5 \sqrt{2} \cdot 2}{8} + 1$

Paso 4.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} - 5 \sqrt{2} \cdot 2}{8} + 1$

Paso 4.3.2.5

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.2.5.1.1

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} - 10 \sqrt{2}}{8} + 1$

Paso 4.3.2.5.1.2

Resta $10 \sqrt{2}$ de $3 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 7 \sqrt{2}}{8} + 1$

Paso 4.3.2.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1$

Paso 4.3.2.6

La respuesta final es $- \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1$ .

$- \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1$

Paso 4.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $\frac{\sqrt{2}}{2}$ en $f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ es $(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1)$

Paso 4.5

Sustituye $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ en $f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ en la expresión.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{5} - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Paso 4.5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.5.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.5.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 ({(- 1)}^{5} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{5}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Paso 4.5.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 ({(- 1)}^{5} (\frac{{\sqrt{2}}^{5}}{2^{5}})) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Paso 4.5.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $5$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{{\sqrt{2}}^{5}}{2^{5}}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Paso 4.5.2.1.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.5.2.1.3.1

Reescribe ${\sqrt{2}}^{5}$ como $\sqrt{2^{5}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{\sqrt{2^{5}}}{2^{5}}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Paso 4.5.2.1.3.2

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{\sqrt{32}}{2^{5}}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Paso 4.5.2.1.3.3

Reescribe $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.2.1.3.3.1

Factoriza $16$ de $32$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{\sqrt{16 (2)}}{2^{5}}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Paso 4.5.2.1.3.3.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{\sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2^{5}}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Paso 4.5.2.1.3.4

Retira los términos de abajo del radical.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{4 \sqrt{2}}{2^{5}}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Paso 4.5.2.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{4 \sqrt{2}}{32}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Paso 4.5.2.1.5

Cancela el factor común de $4$ y $32$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.2.1.5.1

Factoriza $4$ de $4 \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{4 (\sqrt{2})}{32}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Paso 4.5.2.1.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.5.2.1.5.2.1

Factoriza $4$ de $32$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 8}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Paso 4.5.2.1.5.2.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 8}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Paso 4.5.2.1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{\sqrt{2}}{8}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Paso 4.5.2.1.6

Multiplica $3 (- \frac{\sqrt{2}}{8})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.2.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - 3 \frac{\sqrt{2}}{8} - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Paso 4.5.2.1.6.2

Combina $- 3$ y $\frac{\sqrt{2}}{8}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt{2}}{8} - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Paso 4.5.2.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{(3) \sqrt{2}}{8} - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Paso 4.5.2.1.8

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.5.2.1.8.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}) + 1$

Paso 4.5.2.1.8.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 ({(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}})) + 1$

Paso 4.5.2.1.9

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}}) + 1$

Paso 4.5.2.1.10

Simplifica el numerador.

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Paso 4.5.2.1.10.1

Reescribe ${\sqrt{2}}^{3}$ como $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{\sqrt{2^{3}}}{2^{3}}) + 1$

Paso 4.5.2.1.10.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{\sqrt{8}}{2^{3}}) + 1$

Paso 4.5.2.1.10.3

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 4.5.2.1.10.3.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{\sqrt{4 (2)}}{2^{3}}) + 1$

Paso 4.5.2.1.10.3.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2^{3}}) + 1$

Paso 4.5.2.1.10.4

Retira los términos de abajo del radical.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{3}}) + 1$

Paso 4.5.2.1.11

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{2 \sqrt{2}}{8}) + 1$

Paso 4.5.2.1.12

Cancela el factor común de $2$ y $8$ .

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Paso 4.5.2.1.12.1

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{2 (\sqrt{2})}{8}) + 1$

Paso 4.5.2.1.12.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.5.2.1.12.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}) + 1$

Paso 4.5.2.1.12.2.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}) + 1$

Paso 4.5.2.1.12.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{\sqrt{2}}{4}) + 1$

Paso 4.5.2.1.13

Multiplica $- 5 (- \frac{\sqrt{2}}{4})$ .

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Paso 4.5.2.1.13.1

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} + 5 (\frac{\sqrt{2}}{4}) + 1$

Paso 4.5.2.1.13.2

Combina $5$ y $\frac{\sqrt{2}}{4}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} + \frac{5 \sqrt{2}}{4} + 1$

Paso 4.5.2.2

Para escribir $\frac{5 \sqrt{2}}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} + \frac{5 \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{2}{2} + 1$

Paso 4.5.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $8$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.5.2.3.1

Multiplica $\frac{5 \sqrt{2}}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} + \frac{5 \sqrt{2} \cdot 2}{4 \cdot 2} + 1$

Paso 4.5.2.3.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} + \frac{5 \sqrt{2} \cdot 2}{8} + 1$

Paso 4.5.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} \cdot 2}{8} + 1$

Paso 4.5.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.5.2.5.1

Multiplica $2$ por $5$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt{2} + 10 \sqrt{2}}{8} + 1$

Paso 4.5.2.5.2

Suma $- 3 \sqrt{2}$ y $10 \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1$

Paso 4.5.2.6

La respuesta final es $\frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1$ .

$\frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1$

Paso 4.6

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ en $f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ es $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1)$

Paso 4.7

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(0, 1), (\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1), (- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1)$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (- \frac{\sqrt{2}}{2}, 0) \cup (0, \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.80710678$ en la expresión.

$f'' (- 0.80710678) = 60 {(- 0.80710678)}^{3} - 30 \cdot - 0.80710678$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Eleva $- 0.80710678$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 0.80710678) = 60 \cdot - 0.52576659 - 30 \cdot - 0.80710678$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $60$ por $- 0.52576659$ .

$f'' (- 0.80710678) = - 31.54599564 - 30 \cdot - 0.80710678$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $- 30$ por $- 0.80710678$ .

$f'' (- 0.80710678) = - 31.54599564 + 24.21320343$

Paso 6.2.2

Suma $- 31.54599564$ y $24.21320343$ .

$f'' (- 0.80710678) = - 7.3327922$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 7.3327922$ .

$- 7.3327922$

Paso 6.3

En $- 0.80710678$ , la segunda derivada es $- 7.3327922$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.35355339$ en la expresión.

$f'' (- 0.35355339) = 60 {(- 0.35355339)}^{3} - 30 \cdot - 0.35355339$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Eleva $- 0.35355339$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 0.35355339) = 60 \cdot - 0.04419417 - 30 \cdot - 0.35355339$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $60$ por $- 0.04419417$ .

$f'' (- 0.35355339) = - 2.65165042 - 30 \cdot - 0.35355339$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $- 30$ por $- 0.35355339$ .

$f'' (- 0.35355339) = - 2.65165042 + 10.60660171$

Paso 7.2.2

Suma $- 2.65165042$ y $10.60660171$ .

$f'' (- 0.35355339) = 7.95495128$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $7.95495128$ .

$7.95495128$

Paso 7.3

En $- 0.35355339$ , la segunda derivada es $7.95495128$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ .

Incremento en $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.35355339$ en la expresión.

$f'' (0.35355339) = 60 {(0.35355339)}^{3} - 30 \cdot 0.35355339$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1

Eleva $0.35355339$ a la potencia de $3$ .

$f'' (0.35355339) = 60 \cdot 0.04419417 - 30 \cdot 0.35355339$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $60$ por $0.04419417$ .

$f'' (0.35355339) = 2.65165042 - 30 \cdot 0.35355339$

Paso 8.2.1.3

Multiplica $- 30$ por $0.35355339$ .

$f'' (0.35355339) = 2.65165042 - 10.60660171$

Paso 8.2.2

Resta $10.60660171$ de $2.65165042$ .

$f'' (0.35355339) = - 7.95495128$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $- 7.95495128$ .

$- 7.95495128$

Paso 8.3

En $0.35355339$ , la segunda derivada es $- 7.95495128$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Decrecimiento en $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 9

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 9.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.80710678$ en la expresión.

$f'' (0.80710678) = 60 {(0.80710678)}^{3} - 30 \cdot 0.80710678$

Paso 9.2

Simplifica el resultado.

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Paso 9.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1.1

Eleva $0.80710678$ a la potencia de $3$ .

$f'' (0.80710678) = 60 \cdot 0.52576659 - 30 \cdot 0.80710678$

Paso 9.2.1.2

Multiplica $60$ por $0.52576659$ .

$f'' (0.80710678) = 31.54599564 - 30 \cdot 0.80710678$

Paso 9.2.1.3

Multiplica $- 30$ por $0.80710678$ .

$f'' (0.80710678) = 31.54599564 - 24.21320343$

Paso 9.2.2

Resta $24.21320343$ de $31.54599564$ .

$f'' (0.80710678) = 7.3327922$

Paso 9.2.3

La respuesta final es $7.3327922$ .

$7.3327922$

Paso 9.3

En $0.80710678$ , la segunda derivada es $7.3327922$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ .

Incremento en $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 10

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1), (0, 1), (\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1)$ .

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1), (0, 1), (\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1)$

Paso 11