Cálculo Ejemplos

$y = \frac{2 x^{2} + 3}{\cos (x)}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 2 x^{2} + 3$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3] - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{2} + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{\cos (x) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Paso 2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\cos (x) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\cos (x) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Paso 2.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\cos (x) (4 x + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Paso 2.5

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\cos (x) (4 x + 0) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Paso 2.6

Suma $4 x$ y $0$ .

$\frac{\cos (x) (4 x) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Paso 3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) (4 x) - (2 x^{2} + 3) (- \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Paso 4

Multiplica.

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Paso 4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\cos (x) (4 x) + 1 (2 x^{2} + 3) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 4.2

Multiplica $2 x^{2} + 3$ por $1$ .

$\frac{\cos (x) (4 x) + (2 x^{2} + 3) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\cos (x) (4 x) + 2 x^{2} \sin (x) + 3 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 5.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{4 \cos (x) x + 2 x^{2} \sin (x) + 3 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 5.2.2

Reordena los factores en $4 \cos (x) x + 2 x^{2} \sin (x) + 3 \sin (x)$ .

$\frac{4 x \cos (x) + 2 x^{2} \sin (x) + 3 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$