Cálculo Ejemplos

$y = \frac{2 e^{x}}{x^{2} + 6}$

Paso 1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2 e^{x}}{x^{2} + 6}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{2} + 6}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{2} + 6}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x^{2} + 6$ .

$2 \frac{(x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6]}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$2 \frac{(x^{2} + 6) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6]}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$2 \frac{(x^{2} + 6) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 \frac{(x^{2} + 6) e^{x} - e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 4.3

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 \frac{(x^{2} + 6) e^{x} - e^{x} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 4.4

Combina fracciones.

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Paso 4.4.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 \frac{(x^{2} + 6) e^{x} - e^{x} (2 x)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 4.4.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 \frac{(x^{2} + 6) e^{x} - 2 e^{x} x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 4.4.3

Combina $2$ y $\frac{(x^{2} + 6) e^{x} - 2 e^{x} x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$ .

$\frac{2 ((x^{2} + 6) e^{x} - 2 e^{x} x)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (x^{2} e^{x} + 6 e^{x} - 2 e^{x} x)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (x^{2} e^{x}) + 2 (6 e^{x}) + 2 (- 2 e^{x} x)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1.1

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2} e^{x} + 12 e^{x} + 2 (- 2 e^{x} x)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 5.3.1.2

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2} e^{x} + 12 e^{x} - 4 e^{x} x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 5.3.2

Reordena los factores en $2 x^{2} e^{x} + 12 e^{x} - 4 e^{x} x$ .

$\frac{2 x^{2} e^{x} + 12 e^{x} - 4 x e^{x}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 5.4

Reordena los términos.

$\frac{2 e^{x} x^{2} - 4 e^{x} x + 12 e^{x}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 5.5

Factoriza $2 e^{x}$ de $2 e^{x} x^{2} - 4 e^{x} x + 12 e^{x}$ .

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Paso 5.5.1

Factoriza $2 e^{x}$ de $2 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{2 e^{x} (x^{2}) - 4 e^{x} x + 12 e^{x}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 5.5.2

Factoriza $2 e^{x}$ de $- 4 e^{x} x$ .

$\frac{2 e^{x} (x^{2}) + 2 e^{x} (- 2 x) + 12 e^{x}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 5.5.3

Factoriza $2 e^{x}$ de $12 e^{x}$ .

$\frac{2 e^{x} (x^{2}) + 2 e^{x} (- 2 x) + 2 e^{x} (6)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 5.5.4

Factoriza $2 e^{x}$ de $2 e^{x} (x^{2}) + 2 e^{x} (- 2 x)$ .

$\frac{2 e^{x} (x^{2} - 2 x) + 2 e^{x} (6)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 5.5.5

Factoriza $2 e^{x}$ de $2 e^{x} (x^{2} - 2 x) + 2 e^{x} (6)$ .

$\frac{2 e^{x} (x^{2} - 2 x + 6)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$