Cálculo Ejemplos

$y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} \sqrt{25 - x^{2}})$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - x^{2}}]$

Paso 1.2

Combina fracciones.

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Paso 1.2.1

Combina $\frac{x^{2}}{2}$ y $\sqrt{25 - x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} \sqrt{25 - x^{2}}}{2}]$

Paso 1.2.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{25 - x^{2}}$ como ${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}]$

Paso 1.3

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} \frac{d}{d x} [{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 25 - x^{2}$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $25 - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $25 - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 7.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 8

Combina fracciones.

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Paso 8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{{(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 8.3

Mueve ${(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 8.4

Combina $\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ y $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}] + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 9

Según la regla de la suma, la derivada de $25 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 10

Como $25$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $25$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 11

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 12

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x)) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 14

Combina fracciones.

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Paso 14.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 14.2

Combina $- 2$ y $\frac{x^{2}}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{2}}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 14.3

Combina $\frac{- 2 x^{2}}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{2} x}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 15

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 (x^{1} x^{2})}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 16

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{1 + 2}}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 17

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{3}}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 18

Factoriza $2$ de $- 2 x^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 (- x^{3})}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 19

Cancela los factores comunes.

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Paso 19.1

Factoriza $2$ de $2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 (- x^{3})}{2 ({(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 19.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} (\frac{2 (- x^{3})}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 19.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} (\frac{- x^{3}}{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 20

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 21

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 x))$

Paso 22

Reordena.

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Paso 22.1

Mueve $2$ a la izquierda de ${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x)$

Paso 22.2

Mueve ${(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 23

Para escribir $2 x {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 x {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 24

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 25

Multiplica ${(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 25.1

Mueve ${(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x ({(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 25.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 25.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 25.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 25)}^{\frac{2}{2}}}{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 25.5

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 25)}^{1}}{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 26

Simplifica $2 x {(- x^{2} + 25)}^{1}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x (- x^{2} + 25)}{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 27

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{- x^{3} + 2 x (- x^{2} + 25)}{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- x^{3} + 2 x (- x^{2} + 25)}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 28

Simplifica.

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Paso 28.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x^{3} + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 25}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 28.2

Simplifica el numerador.

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Paso 28.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 28.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 25}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 28.2.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 28.2.1.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 (x^{2} x) + 2 x \cdot 25}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 28.2.1.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 28.2.1.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot 25}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 28.2.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 x^{2 + 1} + 2 x \cdot 25}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 28.2.1.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 x^{3} + 2 x \cdot 25}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 28.2.1.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{3} - 2 x^{3} + 2 x \cdot 25}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 28.2.1.4

Multiplica $25$ por $2$ .

$\frac{- x^{3} - 2 x^{3} + 50 x}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 28.2.2

Resta $2 x^{3}$ de $- x^{3}$ .

$\frac{- 3 x^{3} + 50 x}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 28.3

Factoriza $x$ de $- 3 x^{3} + 50 x$ .

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Paso 28.3.1

Factoriza $x$ de $- 3 x^{3}$ .

$\frac{x (- 3 x^{2}) + 50 x}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 28.3.2

Factoriza $x$ de $50 x$ .

$\frac{x (- 3 x^{2}) + x \cdot 50}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 28.3.3

Factoriza $x$ de $x (- 3 x^{2}) + x \cdot 50$ .

$\frac{x (- 3 x^{2} + 50)}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 28.4

Factoriza $- 1$ de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{x (- (3 x^{2}) + 50)}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 28.5

Reescribe $50$ como $- 1 (- 50)$ .

$\frac{x (- (3 x^{2}) - 1 (- 50))}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 28.6

Factoriza $- 1$ de $- (3 x^{2}) - 1 (- 50)$ .

$\frac{x (- (3 x^{2} - 50))}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 28.7

Reescribe $- (3 x^{2} - 50)$ como $- 1 (3 x^{2} - 50)$ .

$\frac{x (- 1 (3 x^{2} - 50))}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 28.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x (3 x^{2} - 50)}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$