Cálculo Ejemplos

$y = \frac{1}{5 x^{4}} - \frac{5}{3 x^{2}}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{5 x^{4}} - \frac{5}{3 x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{4}}]$ .

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Paso 2.1

Como $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{5 x^{4}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{1}{x^{4}}$ como ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{4}$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{4}$ .

$\frac{1}{5} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{1}{5} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{4}$ .

$\frac{1}{5} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{1}{5} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

Paso 2.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Paso 2.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{5} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

Paso 2.5.2

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$\frac{1}{5} (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

Paso 2.6

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{1}{5} (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

Paso 2.7

Multiplica $x^{- 8}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.7.1

Mueve $x^{3}$ .

$\frac{1}{5} (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

Paso 2.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{5} (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

Paso 2.7.3

Resta $8$ de $3$ .

$\frac{1}{5} (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

Paso 2.8

Combina $- 4$ y $\frac{1}{5}$ .

$\frac{- 4}{5} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

Paso 2.9

Combina $\frac{- 4}{5}$ y $x^{- 5}$ .

$\frac{- 4 x^{- 5}}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

Paso 2.10

Mueve $x^{- 5}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 4}{5 x^{5}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

Paso 2.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4}{5 x^{5}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$ .

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Paso 3.1

Como $- \frac{5}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{5}{3 x^{2}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$- \frac{4}{5 x^{5}} - \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Paso 3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{4}{5 x^{5}} - \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{2}$ .

$- \frac{4}{5 x^{5}} - \frac{5}{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- \frac{4}{5 x^{5}} - \frac{5}{3} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{2}$ .

$- \frac{4}{5 x^{5}} - \frac{5}{3} (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{4}{5 x^{5}} - \frac{5}{3} (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Paso 3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4}{5 x^{5}} - \frac{5}{3} (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Paso 3.5.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$- \frac{4}{5 x^{5}} - \frac{5}{3} (- x^{- 4} (2 x))$

Paso 3.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \frac{4}{5 x^{5}} - \frac{5}{3} (- 2 x^{- 4} x)$

Paso 3.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{4}{5 x^{5}} - \frac{5}{3} (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Paso 3.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{4}{5 x^{5}} - \frac{5}{3} (- 2 x^{1 - 4})$

Paso 3.9

Resta $4$ de $1$ .

$- \frac{4}{5 x^{5}} - \frac{5}{3} (- 2 x^{- 3})$

Paso 3.10

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$- \frac{4}{5 x^{5}} + 2 (\frac{5}{3}) x^{- 3}$

Paso 3.11

Combina $2$ y $\frac{5}{3}$ .

$- \frac{4}{5 x^{5}} + \frac{2 \cdot 5}{3} x^{- 3}$

Paso 3.12

Multiplica $2$ por $5$ .

$- \frac{4}{5 x^{5}} + \frac{10}{3} x^{- 3}$

Paso 3.13

Combina $\frac{10}{3}$ y $x^{- 3}$ .

$- \frac{4}{5 x^{5}} + \frac{10 x^{- 3}}{3}$

Paso 3.14

Mueve $x^{- 3}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{4}{5 x^{5}} + \frac{10}{3 x^{3}}$

Paso 4

Reordena los términos.

$\frac{10}{3 x^{3}} - \frac{4}{5 x^{5}}$