Cálculo Ejemplos

$y = \frac{1}{5 x^{2}} + \frac{1}{5 x}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{5 x^{2}} + \frac{1}{5 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{2}}]$ .

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Paso 2.1

Como $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{5 x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x}]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$\frac{1}{5} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{1}{5} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x}]$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$\frac{1}{5} (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x}]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{5} (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x}]$

Paso 2.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 2.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{5} (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x}]$

Paso 2.5.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{1}{5} (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x}]$

Paso 2.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{5} (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x}]$

Paso 2.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{5} (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x}]$

Paso 2.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{5} (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x}]$

Paso 2.9

Resta $4$ de $1$ .

$\frac{1}{5} (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x}]$

Paso 2.10

Combina $- 2$ y $\frac{1}{5}$ .

$\frac{- 2}{5} x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x}]$

Paso 2.11

Combina $\frac{- 2}{5}$ y $x^{- 3}$ .

$\frac{- 2 x^{- 3}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x}]$

Paso 2.12

Mueve $x^{- 3}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 2}{5 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x}]$

Paso 2.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{5 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x}]$ .

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Paso 3.1

Como $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{5 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- \frac{2}{5 x^{3}} + \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 3.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$- \frac{2}{5 x^{3}} + \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- \frac{2}{5 x^{3}} + \frac{1}{5} (- x^{- 2})$

Paso 3.4

Combina $\frac{1}{5}$ y $x^{- 2}$ .

$- \frac{2}{5 x^{3}} - \frac{x^{- 2}}{5}$

Paso 3.5

Mueve $x^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{5 x^{3}} - \frac{1}{5 x^{2}}$

Paso 4

Reordena los términos.

$- \frac{1}{5 x^{2}} - \frac{2}{5 x^{3}}$