Cálculo Ejemplos

$y = \frac{1}{4 - 5 x - x^{2}}$

Paso 1

Reescribe $\frac{1}{4 - 5 x - x^{2}}$ como ${(4 - 5 x - x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 - 5 x - x^{2})}^{- 1}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = 4 - 5 x - x^{2}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 - 5 x - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [4 - 5 x - x^{2}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [4 - 5 x - x^{2}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 - 5 x - x^{2}$ .

$- {(4 - 5 x - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [4 - 5 x - x^{2}]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 - 5 x - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- {(4 - 5 x - x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 3.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- {(4 - 5 x - x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$- {(4 - 5 x - x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 3.4

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {(4 - 5 x - x^{2})}^{- 2} (- 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- {(4 - 5 x - x^{2})}^{- 2} (- 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 3.6

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$- {(4 - 5 x - x^{2})}^{- 2} (- 5 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 3.7

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- {(4 - 5 x - x^{2})}^{- 2} (- 5 - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- {(4 - 5 x - x^{2})}^{- 2} (- 5 - (2 x))$

Paso 3.9

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- {(4 - 5 x - x^{2})}^{- 2} (- 5 - 2 x)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(4 - 5 x - x^{2})}^{2}} (- 5 - 2 x)$

Paso 4.2

Reordena los factores de $- \frac{1}{{(4 - 5 x - x^{2})}^{2}} (- 5 - 2 x)$ .

$- (- 5 - 2 x) \frac{1}{{(4 - 5 x - x^{2})}^{2}}$

Paso 4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(- - 5 - (- 2 x)) \frac{1}{{(4 - 5 x - x^{2})}^{2}}$

Paso 4.4

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$(5 - (- 2 x)) \frac{1}{{(4 - 5 x - x^{2})}^{2}}$

Paso 4.5

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$(5 + 2 x) \frac{1}{{(4 - 5 x - x^{2})}^{2}}$

Paso 4.6

Multiplica $5 + 2 x$ por $\frac{1}{{(4 - 5 x - x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{5 + 2 x}{{(4 - 5 x - x^{2})}^{2}}$