Cálculo Ejemplos

$y = \frac{1}{4} \cdot \sinh (2 x) - \frac{x}{2}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{4} \cdot \sinh (2 x) - \frac{x}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} \cdot \sinh (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} \cdot \sinh (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} \cdot \sinh (2 x)]$ .

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Paso 2.1

Como $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{4} \cdot \sinh (2 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\sinh (2 x)]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\sinh (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sinh (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [\sinh (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Paso 2.2.2

La derivada de $\sinh (u)$ con respecto a $u$ es $\cosh (u)$ .

$\frac{1}{4} (\cosh (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$\frac{1}{4} (\cosh (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Paso 2.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} (\cosh (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{4} (\cosh (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Paso 2.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1}{4} (\cosh (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Paso 2.6

Mueve $2$ a la izquierda de $\cosh (2 x)$ .

$\frac{1}{4} (2 \cdot \cosh (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Paso 2.7

Combina $2$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2}{4} \cosh (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Paso 2.8

Combina $\frac{2}{4}$ y $\cosh (2 x)$ .

$\frac{2 \cosh (2 x)}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Paso 2.9

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 2.9.1

Factoriza $2$ de $2 \cosh (2 x)$ .

$\frac{2 (\cosh (2 x))}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Paso 2.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.9.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cosh (2 x)}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Paso 2.9.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cosh (2 x)}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Paso 2.9.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\cosh (2 x)}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$ .

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Paso 3.1

Como $- \frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{x}{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\cosh (2 x)}{2} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\cosh (2 x)}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\cosh (2 x)}{2} - \frac{1}{2}$