Cálculo Ejemplos

$y = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Paso 2.1

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

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Paso 3.1

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- x^{- 2} - u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$- x^{- 2} - {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- x^{- 2} - {(x^{2})}^{- 2} (2 x)$

Paso 3.4

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 3.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{- 2} - x^{2 \cdot - 2} (2 x)$

Paso 3.4.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$- x^{- 2} - x^{- 4} (2 x)$

Paso 3.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- x^{- 2} - 2 x^{- 4} x$

Paso 3.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- x^{- 2} - 2 (x^{1} x^{- 4})$

Paso 3.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- x^{- 2} - 2 x^{1 - 4}$

Paso 3.8

Resta $4$ de $1$ .

$- x^{- 2} - 2 x^{- 3}$

Paso 4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} - 2 x^{- 3}$

Paso 5

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} - 2 \frac{1}{x^{3}}$

Paso 6

Combina los términos.

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Paso 6.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{3}}$

Paso 6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}}$