Cálculo Ejemplos

$y = 3 x^{2} \sin (2 x)$

Paso 1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2} \sin (2 x)$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (2 x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (2 x)]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sin (2 x)$ .

$3 (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$3 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$3 (x^{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$3 (x^{2} (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (x^{2} (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 (x^{2} (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$3 (x^{2} (\cos (2 x) \cdot 2) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 x)$ .

$3 (x^{2} (2 \cdot \cos (2 x)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (x^{2} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (2 x))$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (x^{2} (2 \cos (2 x))) + 3 (\sin (2 x) (2 x))$

Paso 5.2

Combina los términos.

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Paso 5.2.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 (x^{2} (\cos (2 x))) + 3 (\sin (2 x) (2 x))$

Paso 5.2.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 x^{2} \cos (2 x) + 6 \sin (2 x) x$

Paso 5.3

Reordena los términos.

$6 x^{2} \cos (2 x) + 6 x \sin (2 x)$