Cálculo Ejemplos

$y = \frac{3 x - 2}{2 x + 3}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 3 x - 2$ y $g (x) = 2 x + 3$ .

$\frac{(2 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 2] - (3 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(2 x + 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Paso 2.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x + 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(2 x + 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Paso 2.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{(2 x + 3) (3 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Paso 2.5

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(2 x + 3) (3 + 0) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Paso 2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.6.1

Suma $3$ y $0$ .

$\frac{(2 x + 3) \cdot 3 - (3 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Paso 2.6.2

Mueve $3$ a la izquierda de $2 x + 3$ .

$\frac{3 \cdot (2 x + 3) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Paso 2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{3 (2 x + 3) - (3 x - 2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Paso 2.8

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 (2 x + 3) - (3 x - 2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Paso 2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{3 (2 x + 3) - (3 x - 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Paso 2.10

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{3 (2 x + 3) - (3 x - 2) (2 + \frac{d}{d x} [3])}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Paso 2.11

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{3 (2 x + 3) - (3 x - 2) (2 + 0)}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Paso 2.12

Simplifica la expresión.

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Paso 2.12.1

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{3 (2 x + 3) - (3 x - 2) \cdot 2}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Paso 2.12.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{3 (2 x + 3) - 2 (3 x - 2)}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 (2 x) + 3 \cdot 3 - 2 (3 x - 2)}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 (2 x) + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.1

Combina los términos opuestos en $3 (2 x) + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2$ .

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Paso 3.3.1.1

Reordena los factores en los términos $3 (2 x)$ y $- 2 (3 x)$ .

$\frac{2 \cdot 3 x + 3 \cdot 3 - 2 \cdot 3 x - 2 \cdot - 2}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Paso 3.3.1.2

Resta $2 \cdot 3 x$ de $2 \cdot 3 x$ .

$\frac{3 \cdot 3 + 0 - 2 \cdot - 2}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Paso 3.3.1.3

Suma $3 \cdot 3$ y $0$ .

$\frac{3 \cdot 3 - 2 \cdot - 2}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{9 - 2 \cdot - 2}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Paso 3.3.2.2

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$\frac{9 + 4}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Paso 3.3.3

Suma $9$ y $4$ .

$\frac{13}{{(2 x + 3)}^{2}}$