Cálculo Ejemplos

$y = \frac{4 \ln (x + 6)}{x^{2}}$

Paso 1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4 \ln (x + 6)}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x + 6)}{x^{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x + 6)}{x^{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \ln (x + 6)$ y $g (x) = x^{2}$ .

$4 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x + 6)] - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Paso 3

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x + 6)] - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Paso 3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x + 6)] - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x + 6$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 6$ .

$4 \frac{x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 6]) - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 4.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$4 \frac{x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 6]) - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 6$ .

$4 \frac{x^{2} (\frac{1}{x + 6} \frac{d}{d x} [x + 6]) - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Combina $\frac{1}{x + 6}$ y $x^{2}$ .

$4 \frac{\frac{x^{2}}{x + 6} \frac{d}{d x} [x + 6] - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 5.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$4 \frac{\frac{x^{2}}{x + 6} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]) - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \frac{\frac{x^{2}}{x + 6} (1 + \frac{d}{d x} [6]) - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 5.4

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 \frac{\frac{x^{2}}{x + 6} (1 + 0) - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 5.5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$4 \frac{\frac{x^{2}}{x + 6} \cdot 1 - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 5.5.2

Multiplica $\frac{x^{2}}{x + 6}$ por $1$ .

$4 \frac{\frac{x^{2}}{x + 6} - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 6

Multiplica $\frac{\frac{x^{2}}{x + 6} - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$ por $\frac{x + 6}{x + 6}$ .

$4 (\frac{x + 6}{x + 6} \cdot \frac{\frac{x^{2}}{x + 6} - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}})$

Paso 7

Simplifica los términos.

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Paso 7.1

Combinar.

$4 \frac{(x + 6) (\frac{x^{2}}{x + 6} - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 6) x^{4}}$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 \frac{(x + 6) \frac{x^{2}}{x + 6} + (x + 6) (- \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 6) x^{4}}$

Paso 7.3

Cancela el factor común de $x + 6$ .

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Paso 7.3.1

Cancela el factor común.

$4 \frac{(x + 6) \frac{x^{2}}{x + 6} + (x + 6) (- \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 6) x^{4}}$

Paso 7.3.2

Reescribe la expresión.

$4 \frac{x^{2} + (x + 6) (- \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 6) x^{4}}$

Paso 8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 \frac{x^{2} + (x + 6) (- \ln (x + 6) (2 x))}{(x + 6) x^{4}}$

Paso 9

Combina fracciones.

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Paso 9.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$4 \frac{x^{2} + (x + 6) (- 2 \ln (x + 6) x)}{(x + 6) x^{4}}$

Paso 9.2

Combina $4$ y $\frac{x^{2} + (x + 6) (- 2 \ln (x + 6) x)}{(x + 6) x^{4}}$ .

$\frac{4 (x^{2} + (x + 6) (- 2 \ln (x + 6) x))}{(x + 6) x^{4}}$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x^{2} + 4 ((x + 6) (- 2 \ln (x + 6) x))}{(x + 6) x^{4}}$

Paso 10.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x^{2} + 4 ((x + 6) (- 2 \ln (x + 6) x))}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Paso 10.3

Simplifica el numerador.

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Paso 10.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.3.1.1

Simplifica $- 2 \ln (x + 6)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\frac{4 x^{2} + 4 ((x + 6) (- \ln ({(x + 6)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Paso 10.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x^{2} + 4 (x (- \ln ({(x + 6)}^{2}) x) + 6 (- \ln ({(x + 6)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Paso 10.3.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x (\ln ({(x + 6)}^{2}) x) + 6 (- \ln ({(x + 6)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Paso 10.3.1.4

Multiplica $6 (- \ln ({(x + 6)}^{2}) x)$ .

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Paso 10.3.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x (\ln ({(x + 6)}^{2}) x) - 6 (\ln ({(x + 6)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Paso 10.3.1.4.2

Reordena $\ln ({(x + 6)}^{2})$ y $- 6$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x (\ln ({(x + 6)}^{2}) x) - 6 \cdot \ln ({(x + 6)}^{2}) x)}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Paso 10.3.1.4.3

Simplifica $- 6 \cdot \ln ({(x + 6)}^{2})$ al mover $6$ dentro del algoritmo.

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x (\ln ({(x + 6)}^{2}) x) - \ln ({({(x + 6)}^{2})}^{6}) x)}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Paso 10.3.1.5

Simplifica cada término.

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Paso 10.3.1.5.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 10.3.1.5.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 (- (x \cdot x) \ln ({(x + 6)}^{2}) - \ln ({({(x + 6)}^{2})}^{6}) x)}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Paso 10.3.1.5.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x^{2} \ln ({(x + 6)}^{2}) - \ln ({({(x + 6)}^{2})}^{6}) x)}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Paso 10.3.1.5.2

Multiplica los exponentes en ${({(x + 6)}^{2})}^{6}$ .

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Paso 10.3.1.5.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x^{2} \ln ({(x + 6)}^{2}) - \ln ({(x + 6)}^{2 \cdot 6}) x)}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Paso 10.3.1.5.2.2

Multiplica $2$ por $6$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x^{2} \ln ({(x + 6)}^{2}) - \ln ({(x + 6)}^{12}) x)}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Paso 10.3.1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x^{2} \ln ({(x + 6)}^{2})) + 4 (- \ln ({(x + 6)}^{12}) x)}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Paso 10.3.1.7

Multiplica $4 (- x^{2} \ln ({(x + 6)}^{2}))$ .

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Paso 10.3.1.7.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{4 x^{2} - 4 (x^{2} \ln ({(x + 6)}^{2})) + 4 (- \ln ({(x + 6)}^{12}) x)}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Paso 10.3.1.7.2

Simplifica $- 4 \ln ({(x + 6)}^{2})$ al mover $4$ dentro del algoritmo.

$\frac{4 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 6)}^{2})}^{4})) + 4 (- \ln ({(x + 6)}^{12}) x)}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Paso 10.3.1.8

Multiplica $4 (- \ln ({(x + 6)}^{12}) x)$ .

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Paso 10.3.1.8.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{4 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 6)}^{2})}^{4})) - 4 (\ln ({(x + 6)}^{12}) x)}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Paso 10.3.1.8.2

Reordena $\ln ({(x + 6)}^{12})$ y $- 4$ .

$\frac{4 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 6)}^{2})}^{4})) - 4 \cdot \ln ({(x + 6)}^{12}) x}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Paso 10.3.1.8.3

Simplifica $- 4 \cdot \ln ({(x + 6)}^{12})$ al mover $4$ dentro del algoritmo.

$\frac{4 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 6)}^{2})}^{4})) - \ln ({({(x + 6)}^{12})}^{4}) x}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Paso 10.3.1.9

Simplifica cada término.

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Paso 10.3.1.9.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({({(x + 6)}^{2})}^{4}) - \ln ({({(x + 6)}^{12})}^{4}) x}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Paso 10.3.1.9.2

Multiplica los exponentes en ${({(x + 6)}^{2})}^{4}$ .

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Paso 10.3.1.9.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{2 \cdot 4}) - \ln ({({(x + 6)}^{12})}^{4}) x}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Paso 10.3.1.9.2.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{8}) - \ln ({({(x + 6)}^{12})}^{4}) x}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Paso 10.3.1.9.3

Multiplica los exponentes en ${({(x + 6)}^{12})}^{4}$ .

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Paso 10.3.1.9.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{8}) - \ln ({(x + 6)}^{12 \cdot 4}) x}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Paso 10.3.1.9.3.2

Multiplica $12$ por $4$ .

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{8}) - \ln ({(x + 6)}^{48}) x}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Paso 10.3.2

Reordena los factores en $4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{8}) - \ln ({(x + 6)}^{48}) x$ .

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{8}) - x \ln ({(x + 6)}^{48})}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Paso 10.4

Multiplica $x$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 10.4.1

Multiplica $x$ por $x^{4}$ .

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Paso 10.4.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{8}) - x \ln ({(x + 6)}^{48})}{x^{1} x^{4} + 6 x^{4}}$

Paso 10.4.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{8}) - x \ln ({(x + 6)}^{48})}{x^{1 + 4} + 6 x^{4}}$

Paso 10.4.2

Suma $1$ y $4$ .

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{8}) - x \ln ({(x + 6)}^{48})}{x^{5} + 6 x^{4}}$

Paso 10.5

Factoriza $x$ de $4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{8}) - x \ln ({(x + 6)}^{48})$ .

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Paso 10.5.1

Factoriza $x$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{x (4 x) - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{8}) - x \ln ({(x + 6)}^{48})}{x^{5} + 6 x^{4}}$

Paso 10.5.2

Factoriza $x$ de $- x^{2} \ln ({(x + 6)}^{8})$ .

$\frac{x (4 x) + x (- x \ln ({(x + 6)}^{8})) - x \ln ({(x + 6)}^{48})}{x^{5} + 6 x^{4}}$

Paso 10.5.3

Factoriza $x$ de $- x \ln ({(x + 6)}^{48})$ .

$\frac{x (4 x) + x (- x \ln ({(x + 6)}^{8})) + x (- \ln ({(x + 6)}^{48}))}{x^{5} + 6 x^{4}}$

Paso 10.5.4

Factoriza $x$ de $x (4 x) + x (- x \ln ({(x + 6)}^{8}))$ .

$\frac{x (4 x - x \ln ({(x + 6)}^{8})) + x (- \ln ({(x + 6)}^{48}))}{x^{5} + 6 x^{4}}$

Paso 10.5.5

Factoriza $x$ de $x (4 x - x \ln ({(x + 6)}^{8})) + x (- \ln ({(x + 6)}^{48}))$ .

$\frac{x (4 x - x \ln ({(x + 6)}^{8}) - \ln ({(x + 6)}^{48}))}{x^{5} + 6 x^{4}}$

Paso 10.6

Factoriza $x^{4}$ de $x^{5} + 6 x^{4}$ .

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Paso 10.6.1

Factoriza $x^{4}$ de $x^{5}$ .

$\frac{x (4 x - x \ln ({(x + 6)}^{8}) - \ln ({(x + 6)}^{48}))}{x^{4} x + 6 x^{4}}$

Paso 10.6.2

Factoriza $x^{4}$ de $6 x^{4}$ .

$\frac{x (4 x - x \ln ({(x + 6)}^{8}) - \ln ({(x + 6)}^{48}))}{x^{4} x + x^{4} \cdot 6}$

Paso 10.6.3

Factoriza $x^{4}$ de $x^{4} x + x^{4} \cdot 6$ .

$\frac{x (4 x - x \ln ({(x + 6)}^{8}) - \ln ({(x + 6)}^{48}))}{x^{4} (x + 6)}$

Paso 10.7

Expande $\ln ({(x + 6)}^{8})$ ; para ello, mueve $8$ fuera del logaritmo.

$\frac{x (4 x - x (8 \ln (x + 6)) - \ln ({(x + 6)}^{48}))}{x^{4} (x + 6)}$

Paso 10.8

Expande $\ln ({(x + 6)}^{48})$ ; para ello, mueve $48$ fuera del logaritmo.

$\frac{x (4 x - x (8 \ln (x + 6)) - (48 \ln (x + 6)))}{x^{4} (x + 6)}$

Paso 10.9

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.9.1

Factoriza $x$ de $x^{4} (x + 6)$ .

$\frac{x (4 x - x (8 \ln (x + 6)) - (48 \ln (x + 6)))}{x (x^{3} (x + 6))}$

Paso 10.9.2

Cancela el factor común.

$\frac{x (4 x - x (8 \ln (x + 6)) - (48 \ln (x + 6)))}{x (x^{3} (x + 6))}$

Paso 10.9.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4 x - x (8 \ln (x + 6)) - (48 \ln (x + 6))}{x^{3} (x + 6)}$

Paso 10.10

Simplifica el numerador.

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Paso 10.10.1

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$\frac{4 x - 8 x \ln (x + 6) - 1 \cdot 48 \ln (x + 6)}{x^{3} (x + 6)}$

Paso 10.10.2

Multiplica $- 1$ por $48$ .

$\frac{4 x - 8 x \ln (x + 6) - 48 \ln (x + 6)}{x^{3} (x + 6)}$

Paso 10.10.3

Factoriza $4$ de $4 x - 8 x \ln (x + 6) - 48 \ln (x + 6)$ .

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Paso 10.10.3.1

Factoriza $4$ de $4 x$ .

$\frac{4 (x) - 8 x \ln (x + 6) - 48 \ln (x + 6)}{x^{3} (x + 6)}$

Paso 10.10.3.2

Factoriza $4$ de $- 8 x \ln (x + 6)$ .

$\frac{4 (x) + 4 (- 2 x \ln (x + 6)) - 48 \ln (x + 6)}{x^{3} (x + 6)}$

Paso 10.10.3.3

Factoriza $4$ de $- 48 \ln (x + 6)$ .

$\frac{4 (x) + 4 (- 2 x \ln (x + 6)) + 4 (- 12 \ln (x + 6))}{x^{3} (x + 6)}$

Paso 10.10.3.4

Factoriza $4$ de $4 (x) + 4 (- 2 x \ln (x + 6))$ .

$\frac{4 (x - 2 x \ln (x + 6)) + 4 (- 12 \ln (x + 6))}{x^{3} (x + 6)}$

Paso 10.10.3.5

Factoriza $4$ de $4 (x - 2 x \ln (x + 6)) + 4 (- 12 \ln (x + 6))$ .

$\frac{4 (x - 2 x \ln (x + 6) - 12 \ln (x + 6))}{x^{3} (x + 6)}$