Cálculo Ejemplos

$y = 5^{4 x^{3}}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = 5^{x}$ y $g (x) = 4 x^{3}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 x^{3}$ .

$\frac{d}{d u} [5^{u}] \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $5$ .

$5^{u} \ln (5) \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x^{3}$ .

$5^{4 x^{3}} \ln (5) \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5^{4 x^{3}} \ln (5) (4 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$5^{4 x^{3}} \ln (5) (4 (3 x^{2}))$

Paso 2.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$5^{4 x^{3}} \ln (5) (12 x^{2})$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reordena los factores de $5^{4 x^{3}} \ln (5) (12 x^{2})$ .

$12 \cdot 5^{4 x^{3}} x^{2} \ln (5)$

Paso 3.2

Reordena los factores en $12 \cdot 5^{4 x^{3}} x^{2} \ln (5)$ .

$12 x^{2} \cdot 5^{4 x^{3}} \ln (5)$