Cálculo Ejemplos

$y = \frac{5}{1 + e^{3 x}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{5}{1 + e^{3 x}}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + e^{3 x}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + e^{3 x}}]$

Paso 1.2

Reescribe $\frac{1}{1 + e^{3 x}}$ como ${(1 + e^{3 x})}^{- 1}$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(1 + e^{3 x})}^{- 1}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = 1 + e^{3 x}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $1 + e^{3 x}$ .

$5 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + e^{3 x}])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$5 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{3 x}])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $1 + e^{3 x}$ .

$5 (- {(1 + e^{3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{3 x}])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$- 5 ({(1 + e^{3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{3 x}])$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + e^{3 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$- 5 {(1 + e^{3 x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{3 x}])$

Paso 3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 5 {(1 + e^{3 x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [e^{3 x}])$

Paso 3.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$- 5 {(1 + e^{3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $3 x$ .

$- 5 {(1 + e^{3 x})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- 5 {(1 + e^{3 x})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $3 x$ .

$- 5 {(1 + e^{3 x})}^{- 2} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 {(1 + e^{3 x})}^{- 2} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 5.2

Multiplica $3$ por $- 5$ .

$- 15 {(1 + e^{3 x})}^{- 2} (e^{3 x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Paso 5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 15 {(1 + e^{3 x})}^{- 2} (e^{3 x} \cdot 1)$

Paso 5.4

Multiplica $e^{3 x}$ por $1$ .

$- 15 {(1 + e^{3 x})}^{- 2} e^{3 x}$

Paso 6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 15 \frac{1}{{(1 + e^{3 x})}^{2}} e^{3 x}$

Paso 7

Combina los términos.

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Paso 7.1

Combina $- 15$ y $\frac{1}{{(1 + e^{3 x})}^{2}}$ .

$\frac{- 15}{{(1 + e^{3 x})}^{2}} e^{3 x}$

Paso 7.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{15}{{(1 + e^{3 x})}^{2}} e^{3 x}$

Paso 7.3

Combina $e^{3 x}$ y $\frac{15}{{(1 + e^{3 x})}^{2}}$ .

$- \frac{e^{3 x} \cdot 15}{{(1 + e^{3 x})}^{2}}$

Paso 7.4

Mueve $15$ a la izquierda de $e^{3 x}$ .

$- \frac{15 e^{3 x}}{{(1 + e^{3 x})}^{2}}$