Cálculo Ejemplos

$y = \frac{4 x + 5}{\sqrt{x}}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x + 5}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 4 x + 5$ y $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 5] - (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 5] - (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 5] - (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 5] - (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

Paso 4

Simplifica.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 5] - (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 5

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 6

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 8

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 9

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 + 0) - (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 10

Simplifica la expresión.

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Paso 10.1

Suma $4$ y $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 4 - (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 10.2

Mueve $4$ a la izquierda de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 \cdot x^{\frac{1}{2}} - (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - (4 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{x}$

Paso 12

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - (4 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x}$

Paso 13

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - (4 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Paso 14

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - (4 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Paso 15

Simplifica el numerador.

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Paso 15.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - (4 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{x}$

Paso 15.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - (4 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{x}$

Paso 16

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - (4 x + 5) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{x}$

Paso 17

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - (4 x + 5) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{x}$

Paso 18

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - (4 x + 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 19

Simplifica.

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Paso 19.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} + (- (4 x) - 1 \cdot 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 19.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - (4 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 19.3

Simplifica el numerador.

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Paso 19.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 19.3.1.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - 4 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 19.3.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 19.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $- 4 x$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- 2 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 19.3.1.2.2

Factoriza $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- 2 x) \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}})} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 19.3.1.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- 2 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 19.3.1.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 19.3.1.3

Combina $- 2$ y $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} + x \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 19.3.1.4

Combina $x$ y $\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot - 2}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 19.3.1.5

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} + x \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 19.3.1.6

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 19.3.1.6.1

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} x \cdot - 2 - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 19.3.1.6.2

Multiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ por $x$ .

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Paso 19.3.1.6.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} x^{1} \cdot - 2 - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 19.3.1.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2} + 1} \cdot - 2 - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 19.3.1.6.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \cdot - 2 - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 19.3.1.6.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{- 1 + 2}{2}} \cdot - 2 - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 19.3.1.6.5

Suma $- 1$ y $2$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 2 - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 19.3.1.7

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 19.3.1.8

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 19.3.1.9

Combina $- 5$ y $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 19.3.1.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 19.3.2

Resta $2 x^{\frac{1}{2}}$ de $4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 19.4

Simplifica el numerador.

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Paso 19.4.1

Para escribir $2 x^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 19.4.2

Combina $2 x^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 19.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}}) - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 19.4.4

Simplifica el numerador.

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Paso 19.4.4.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 19.4.4.2

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 19.4.4.2.1

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 19.4.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 19.4.4.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 x^{\frac{1 + 1}{2}} - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 19.4.4.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 x^{\frac{2}{2}} - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 19.4.4.2.5

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 x^{1} - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 19.4.4.3

Simplifica $2 \cdot 2 x^{1}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 x - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 19.4.4.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\frac{4 x - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 19.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{4 x - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 19.6

Multiplica $\frac{4 x - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$ .

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Paso 19.6.1

Multiplica $\frac{4 x - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{4 x - 5}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Paso 19.6.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 x - 5}{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}$

Paso 19.6.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 x - 5}{2 x^{1 + \frac{1}{2}}}$

Paso 19.6.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{4 x - 5}{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Paso 19.6.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 x - 5}{2 x^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Paso 19.6.6

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{4 x - 5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$