Cálculo Ejemplos

$y = \frac{1}{\ln (3 x)}$

Paso 1

Reescribe $\frac{1}{\ln (3 x)}$ como $\ln^{- 1} (3 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln^{- 1} (3 x)]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = \ln (3 x)$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\ln (3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\ln (3 x)$ .

$- \ln^{- 2} (3 x) \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $3 x$ .

$- \ln^{- 2} (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 3.2

La derivada de $\ln (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{u_{2}}$ .

$- \ln^{- 2} (3 x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $3 x$ .

$- \ln^{- 2} (3 x) (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Combina $\frac{1}{3 x}$ y $\ln^{- 2} (3 x)$ .

$- \frac{\ln^{- 2} (3 x)}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 4.2

Mueve $\ln^{- 2} (3 x)$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{3 x \ln^{2} (3 x)} \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 4.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{3 x \ln^{2} (3 x)} (3 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.4

Simplifica los términos.

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Paso 4.4.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- 3 \frac{1}{3 x \ln^{2} (3 x)} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.4.2

Combina $- 3$ y $\frac{1}{3 x \ln^{2} (3 x)}$ .

$\frac{- 3}{3 x \ln^{2} (3 x)} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.4.3

Cancela el factor común de $- 3$ y $3$ .

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Paso 4.4.3.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 x \ln^{2} (3 x)} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.4.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.4.3.2.1

Factoriza $3$ de $3 x \ln^{2} (3 x)$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 (x \ln^{2} (3 x))} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.4.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 (x \ln^{2} (3 x))} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.4.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{x \ln^{2} (3 x)} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.4.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{x \ln^{2} (3 x)} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{1}{x \ln^{2} (3 x)} \cdot 1$

Paso 4.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{x \ln^{2} (3 x)}$