Cálculo Ejemplos

$y = - \frac{3}{5 x + 2}$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{3}{5 x + 2}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 2}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 2}]$

Paso 1.2

Reescribe $\frac{1}{5 x + 2}$ como ${(5 x + 2)}^{- 1}$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [{(5 x + 2)}^{- 1}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = 5 x + 2$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 x + 2$ .

$- 3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x + 2$ .

$- 3 (- {(5 x + 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$3 ({(5 x + 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$3 {(5 x + 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 3.3

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(5 x + 2)}^{- 2} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 {(5 x + 2)}^{- 2} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 3.5

Multiplica $5$ por $1$ .

$3 {(5 x + 2)}^{- 2} (5 + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 3.6

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 {(5 x + 2)}^{- 2} (5 + 0)$

Paso 3.7

Simplifica la expresión.

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Paso 3.7.1

Suma $5$ y $0$ .

$3 {(5 x + 2)}^{- 2} \cdot 5$

Paso 3.7.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$15 {(5 x + 2)}^{- 2}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$15 \frac{1}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Paso 4.2

Combina $15$ y $\frac{1}{{(5 x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{15}{{(5 x + 2)}^{2}}$