Cálculo Ejemplos

$y = \frac{3 x^{4} + 9}{x^{2}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 3 x^{4} + 9$ y $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 9] - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 9] - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Paso 2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 9] - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{4} + 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [9]) - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{4}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{x^{2} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [9]) - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{x^{2} (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [9]) - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.5

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{x^{2} (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [9]) - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.6

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{2} (12 x^{3} + 0) - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.7

Suma $12 x^{3}$ y $0$ .

$\frac{x^{2} (12 x^{3}) - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 3

Multiplica $x^{2}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1

Mueve $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} x^{2} \cdot 12 - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{3 + 2} \cdot 12 - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 3.3

Suma $3$ y $2$ .

$\frac{x^{5} \cdot 12 - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 4

Mueve $12$ a la izquierda de $x^{5}$ .

$\frac{12 \cdot x^{5} - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{12 x^{5} - (3 x^{4} + 9) (2 x)}{x^{4}}$

Paso 6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{12 x^{5} - 2 (3 x^{4} + 9) x}{x^{4}}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{12 x^{5} + (- 2 (3 x^{4}) - 2 \cdot 9) x}{x^{4}}$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{12 x^{5} - 2 (3 x^{4}) x - 2 \cdot 9 x}{x^{4}}$

Paso 7.3

Simplifica el numerador.

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Paso 7.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.3.1.1

Multiplica $x^{4}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 7.3.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{12 x^{5} - 2 (3 (x \cdot x^{4})) - 2 \cdot 9 x}{x^{4}}$

Paso 7.3.1.1.2

Multiplica $x$ por $x^{4}$ .

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Paso 7.3.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{12 x^{5} - 2 (3 (x^{1} x^{4})) - 2 \cdot 9 x}{x^{4}}$

Paso 7.3.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{12 x^{5} - 2 (3 x^{1 + 4}) - 2 \cdot 9 x}{x^{4}}$

Paso 7.3.1.1.3

Suma $1$ y $4$ .

$\frac{12 x^{5} - 2 (3 x^{5}) - 2 \cdot 9 x}{x^{4}}$

Paso 7.3.1.2

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$\frac{12 x^{5} - 6 x^{5} - 2 \cdot 9 x}{x^{4}}$

Paso 7.3.1.3

Multiplica $- 2$ por $9$ .

$\frac{12 x^{5} - 6 x^{5} - 18 x}{x^{4}}$

Paso 7.3.2

Resta $6 x^{5}$ de $12 x^{5}$ .

$\frac{6 x^{5} - 18 x}{x^{4}}$

Paso 7.4

Factoriza $6 x$ de $6 x^{5} - 18 x$ .

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Paso 7.4.1

Factoriza $6 x$ de $6 x^{5}$ .

$\frac{6 x (x^{4}) - 18 x}{x^{4}}$

Paso 7.4.2

Factoriza $6 x$ de $- 18 x$ .

$\frac{6 x (x^{4}) + 6 x (- 3)}{x^{4}}$

Paso 7.4.3

Factoriza $6 x$ de $6 x (x^{4}) + 6 x (- 3)$ .

$\frac{6 x (x^{4} - 3)}{x^{4}}$

Paso 7.5

Cancela el factor común de $x$ y $x^{4}$ .

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Paso 7.5.1

Factoriza $x$ de $6 x (x^{4} - 3)$ .

$\frac{x (6 (x^{4} - 3))}{x^{4}}$

Paso 7.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.5.2.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{x (6 (x^{4} - 3))}{x \cdot x^{3}}$

Paso 7.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x (6 (x^{4} - 3))}{x \cdot x^{3}}$

Paso 7.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{6 (x^{4} - 3)}{x^{3}}$