Cálculo Ejemplos

$y = {(6 - e^{x})}^{5}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{5}$ y $g (x) = 6 - e^{x}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $6 - e^{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [6 - e^{x}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [6 - e^{x}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $6 - e^{x}$ .

$5 {(6 - e^{x})}^{4} \frac{d}{d x} [6 - e^{x}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 - e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$5 {(6 - e^{x})}^{4} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- e^{x}])$

Paso 2.2

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$5 {(6 - e^{x})}^{4} (0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}])$

Paso 2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$5 {(6 - e^{x})}^{4} \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Paso 2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- e^{x}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$5 {(6 - e^{x})}^{4} (- \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Paso 2.5

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$- 5 {(6 - e^{x})}^{4} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- 5 {(6 - e^{x})}^{4} e^{x}$

Paso 4

Reordena los factores de $- 5 {(6 - e^{x})}^{4} e^{x}$ .

$- 5 e^{x} {(6 - e^{x})}^{4}$