Cálculo Ejemplos

$y = \frac{8 e^{x}}{2 e^{x} + 1}$

Paso 1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{8 e^{x}}{2 e^{x} + 1}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{2 e^{x} + 1}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{2 e^{x} + 1}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 e^{x} + 1$ .

$8 \frac{(2 e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [2 e^{x} + 1]}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$8 \frac{(2 e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [2 e^{x} + 1]}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 e^{x} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$8 \frac{(2 e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 4.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 e^{x}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$8 \frac{(2 e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} (2 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 5

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$8 \frac{(2 e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} (2 e^{x} + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 6

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 6.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$8 \frac{(2 e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} (2 e^{x} + 0)}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.1

Suma $2 e^{x}$ y $0$ .

$8 \frac{(2 e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} (2 e^{x})}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 6.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$8 \frac{(2 e^{x} + 1) e^{x} - 2 e^{x} e^{x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 7

Multiplica $e^{x}$ por $e^{x}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.1

Mueve $e^{x}$ .

$8 \frac{(2 e^{x} + 1) e^{x} - 2 (e^{x} e^{x})}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$8 \frac{(2 e^{x} + 1) e^{x} - 2 e^{x + x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 7.3

Suma $x$ y $x$ .

$8 \frac{(2 e^{x} + 1) e^{x} - 2 e^{2 x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 8

Combina $8$ y $\frac{(2 e^{x} + 1) e^{x} - 2 e^{2 x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{8 ((2 e^{x} + 1) e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 (2 e^{x} e^{x} + 1 e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 9.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 (2 e^{x} e^{x}) + 8 (1 e^{x}) + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 9.3

Simplifica el numerador.

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Paso 9.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.3.1.1

Multiplica $e^{x}$ por $e^{x}$ sumando los exponentes.

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Paso 9.3.1.1.1

Mueve $e^{x}$ .

$\frac{8 (2 (e^{x} e^{x})) + 8 (1 e^{x}) + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 9.3.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{8 (2 e^{x + x}) + 8 (1 e^{x}) + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 9.3.1.1.3

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{8 (2 e^{2 x}) + 8 (1 e^{x}) + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 9.3.1.2

Multiplica $2$ por $8$ .

$\frac{16 e^{2 x} + 8 (1 e^{x}) + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 9.3.1.3

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$\frac{16 e^{2 x} + 8 e^{x} + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 9.3.1.4

Multiplica $- 2$ por $8$ .

$\frac{16 e^{2 x} + 8 e^{x} - 16 e^{2 x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 9.3.2

Combina los términos opuestos en $16 e^{2 x} + 8 e^{x} - 16 e^{2 x}$ .

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Paso 9.3.2.1

Resta $16 e^{2 x}$ de $16 e^{2 x}$ .

$\frac{8 e^{x} + 0}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 9.3.2.2

Suma $8 e^{x}$ y $0$ .

$\frac{8 e^{x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$