Cálculo Ejemplos

$y = {(7 x + 12)}^{5}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{5}$ y $g (x) = 7 x + 12$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $7 x + 12$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [7 x + 12]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [7 x + 12]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $7 x + 12$ .

$5 {(7 x + 12)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x + 12]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $7 x + 12$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$5 {(7 x + 12)}^{4} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [12])$

Paso 2.2

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 {(7 x + 12)}^{4} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 {(7 x + 12)}^{4} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12])$

Paso 2.4

Multiplica $7$ por $1$ .

$5 {(7 x + 12)}^{4} (7 + \frac{d}{d x} [12])$

Paso 2.5

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12$ con respecto a $x$ es $0$ .

$5 {(7 x + 12)}^{4} (7 + 0)$

Paso 2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.6.1

Suma $7$ y $0$ .

$5 {(7 x + 12)}^{4} \cdot 7$

Paso 2.6.2

Multiplica $7$ por $5$ .

$35 {(7 x + 12)}^{4}$