Cálculo Ejemplos

$y = {\cos (9 x)}^{x}$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar la diferenciación.

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Paso 1.1

Reescribe ${\cos (9 x)}^{x}$ como $e^{\ln ({\cos (9 x)}^{x})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\cos (9 x)}^{x})}]$

Paso 1.2

Expande $\ln ({\cos (9 x)}^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (\cos (9 x))}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x \ln (\cos (9 x))$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x \ln (\cos (9 x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x \ln (\cos (9 x))]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x \ln (\cos (9 x))]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x \ln (\cos (9 x))$ .

$e^{x \ln (\cos (9 x))} \frac{d}{d x} [x \ln (\cos (9 x))]$

Paso 3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (\cos (9 x))$ .

$e^{x \ln (\cos (9 x))} (x \frac{d}{d x} [\ln (\cos (9 x))] + \ln (\cos (9 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \cos (9 x)$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\cos (9 x)$ .

$e^{x \ln (\cos (9 x))} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (9 x)]) + \ln (\cos (9 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.2

La derivada de $\ln (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{x \ln (\cos (9 x))} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\cos (9 x)]) + \ln (\cos (9 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\cos (9 x)$ .

$e^{x \ln (\cos (9 x))} (x (\frac{1}{\cos (9 x)} \frac{d}{d x} [\cos (9 x)]) + \ln (\cos (9 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 5

Convierte de $\frac{1}{\cos (9 x)}$ a $\sec (9 x)$ .

$e^{x \ln (\cos (9 x))} (x (\sec (9 x) \frac{d}{d x} [\cos (9 x)]) + \ln (\cos (9 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 9 x$ .

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Paso 6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $9 x$ .

$e^{x \ln (\cos (9 x))} (x (\sec (9 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [9 x])) + \ln (\cos (9 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 6.2

La derivada de $\cos (u_{3})$ con respecto a $u_{3}$ es $- \sin (u_{3})$ .

$e^{x \ln (\cos (9 x))} (x (\sec (9 x) (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [9 x])) + \ln (\cos (9 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 6.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $9 x$ .

$e^{x \ln (\cos (9 x))} (x (\sec (9 x) (- \sin (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])) + \ln (\cos (9 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 7

Diferencia.

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Paso 7.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x \ln (\cos (9 x))} (x (\sec (9 x) (- \sin (9 x) (9 \frac{d}{d x} [x]))) + \ln (\cos (9 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 7.2

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$e^{x \ln (\cos (9 x))} (x (\sec (9 x) (- 9 \sin (9 x) \frac{d}{d x} [x])) + \ln (\cos (9 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 7.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{x \ln (\cos (9 x))} (x (\sec (9 x) (- 9 \sin (9 x) \cdot 1)) + \ln (\cos (9 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 7.4

Multiplica $- 9$ por $1$ .

$e^{x \ln (\cos (9 x))} (x (\sec (9 x) (- 9 \sin (9 x))) + \ln (\cos (9 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 7.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{x \ln (\cos (9 x))} (x (\sec (9 x) (- 9 \sin (9 x))) + \ln (\cos (9 x)) \cdot 1)$

Paso 7.6

Multiplica $\ln (\cos (9 x))$ por $1$ .

$e^{x \ln (\cos (9 x))} (x (\sec (9 x) (- 9 \sin (9 x))) + \ln (\cos (9 x)))$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{x \ln (\cos (9 x))} (x (\sec (9 x) (- 9 \sin (9 x)))) + e^{x \ln (\cos (9 x))} \ln (\cos (9 x))$

Paso 8.2

Elimina los paréntesis.

$e^{x \ln (\cos (9 x))} x \sec (9 x) (- 9 \sin (9 x)) + e^{x \ln (\cos (9 x))} \ln (\cos (9 x))$

Paso 8.3

Reordena los términos.

$- 9 e^{x \ln (\cos (9 x))} x \sec (9 x) \sin (9 x) + e^{x \ln (\cos (9 x))} \ln (\cos (9 x))$