Cálculo Ejemplos

$y = \frac{{(3 x - 2)}^{6}}{{(2 x + 5)}^{4}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = {(3 x - 2)}^{6}$ y $g (x) = {(2 x + 5)}^{4}$ .

$\frac{{(2 x + 5)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{6}] - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{({(2 x + 5)}^{4})}^{2}}$

Paso 2

Multiplica los exponentes en ${({(2 x + 5)}^{4})}^{2}$ .

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Paso 2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 x + 5)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{6}] - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{4 \cdot 2}}$

Paso 2.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{{(2 x + 5)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{6}] - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{6}$ y $g (x) = 3 x - 2$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $3 x - 2$ .

$\frac{{(2 x + 5)}^{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{6}] \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$\frac{{(2 x + 5)}^{4} (6 {u_{1}}^{5} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $3 x - 2$ .

$\frac{{(2 x + 5)}^{4} (6 {(3 x - 2)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Mueve $6$ a la izquierda de ${(2 x + 5)}^{4}$ .

$\frac{6 \cdot {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x - 2] - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Paso 4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{6 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Paso 4.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{6 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Paso 4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{6 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Paso 4.5

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{6 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} (3 + \frac{d}{d x} [- 2]) - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Paso 4.6

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{6 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} (3 + 0) - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Paso 4.7

Simplifica la expresión.

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Paso 4.7.1

Suma $3$ y $0$ .

$\frac{6 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} \cdot 3 - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Paso 4.7.2

Multiplica $3$ por $6$ .

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Paso 5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = 2 x + 5$ .

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Paso 5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 x + 5$ .

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - {(3 x - 2)}^{6} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [2 x + 5])}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Paso 5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - {(3 x - 2)}^{6} (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [2 x + 5])}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Paso 5.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x + 5$ .

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - {(3 x - 2)}^{6} (4 {(2 x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x + 5])}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Paso 6

Diferencia.

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Paso 6.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - 4 {(3 x - 2)}^{6} ({(2 x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x + 5])}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Paso 6.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - 4 {(3 x - 2)}^{6} ({(2 x + 5)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]))}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Paso 6.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - 4 {(3 x - 2)}^{6} ({(2 x + 5)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]))}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Paso 6.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - 4 {(3 x - 2)}^{6} ({(2 x + 5)}^{3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]))}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Paso 6.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - 4 {(3 x - 2)}^{6} ({(2 x + 5)}^{3} (2 + \frac{d}{d x} [5]))}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Paso 6.6

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - 4 {(3 x - 2)}^{6} ({(2 x + 5)}^{3} (2 + 0))}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Paso 6.7

Simplifica la expresión.

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Paso 6.7.1

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - 4 {(3 x - 2)}^{6} ({(2 x + 5)}^{3} \cdot 2)}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Paso 6.7.2

Mueve $2$ a la izquierda de ${(2 x + 5)}^{3}$ .

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - 4 {(3 x - 2)}^{6} (2 \cdot {(2 x + 5)}^{3})}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Paso 6.7.3

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - 8 {(3 x - 2)}^{6} {(2 x + 5)}^{3}}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

Factoriza $2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5}$ de $18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - 8 {(3 x - 2)}^{6} {(2 x + 5)}^{3}$ .

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Paso 7.1.1.1

Factoriza $2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5}$ de $18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5}$ .

$\frac{2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (9 (2 x + 5)) - 8 {(3 x - 2)}^{6} {(2 x + 5)}^{3}}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Paso 7.1.1.2

Factoriza $2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5}$ de $- 8 {(3 x - 2)}^{6} {(2 x + 5)}^{3}$ .

$\frac{2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (9 (2 x + 5)) + 2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (- 4 (3 x - 2))}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Paso 7.1.1.3

Factoriza $2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5}$ de $2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (9 (2 x + 5)) + 2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (- 4 (3 x - 2))$ .

$\frac{2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (9 (2 x + 5) - 4 (3 x - 2))}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Paso 7.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (9 (2 x) + 9 \cdot 5 - 4 (3 x - 2))}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Paso 7.1.3

Multiplica $2$ por $9$ .

$\frac{2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (18 x + 9 \cdot 5 - 4 (3 x - 2))}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Paso 7.1.4

Multiplica $9$ por $5$ .

$\frac{2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (18 x + 45 - 4 (3 x - 2))}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Paso 7.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (18 x + 45 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 2)}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Paso 7.1.6

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$\frac{2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (18 x + 45 - 12 x - 4 \cdot - 2)}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Paso 7.1.7

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$\frac{2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (18 x + 45 - 12 x + 8)}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Paso 7.1.8

Resta $12 x$ de $18 x$ .

$\frac{2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (6 x + 45 + 8)}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Paso 7.1.9

Suma $45$ y $8$ .

$\frac{2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (6 x + 53)}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Paso 7.2

Cancela el factor común de ${(2 x + 5)}^{3}$ y ${(2 x + 5)}^{8}$ .

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Paso 7.2.1

Factoriza ${(2 x + 5)}^{3}$ de $2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (6 x + 53)$ .

$\frac{{(2 x + 5)}^{3} (2 {(3 x - 2)}^{5} (6 x + 53))}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Paso 7.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.2.1

Factoriza ${(2 x + 5)}^{3}$ de ${(2 x + 5)}^{8}$ .

$\frac{{(2 x + 5)}^{3} (2 {(3 x - 2)}^{5} (6 x + 53))}{{(2 x + 5)}^{3} {(2 x + 5)}^{5}}$

Paso 7.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{{(2 x + 5)}^{3} (2 {(3 x - 2)}^{5} (6 x + 53))}{{(2 x + 5)}^{3} {(2 x + 5)}^{5}}$

Paso 7.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 {(3 x - 2)}^{5} (6 x + 53)}{{(2 x + 5)}^{5}}$