Cálculo Ejemplos

$y = \frac{e^{2 x}}{\sin (5 x)}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = e^{2 x}$ y $g (x) = \sin (5 x)$ .

$\frac{\sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\sin^{2} (5 x)}$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 x$ .

$\frac{\sin (5 x) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\sin^{2} (5 x)}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{\sin (5 x) (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\sin^{2} (5 x)}$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$\frac{\sin (5 x) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\sin^{2} (5 x)}$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\sin (5 x) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\sin^{2} (5 x)}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\sin (5 x) (e^{2 x} (2 \cdot 1)) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\sin^{2} (5 x)}$

Paso 3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\sin (5 x) (e^{2 x} \cdot 2) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\sin^{2} (5 x)}$

Paso 3.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 x}$ .

$\frac{\sin (5 x) (2 \cdot e^{2 x}) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\sin^{2} (5 x)}$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 5 x$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $5 x$ .

$\frac{\sin (5 x) (2 e^{2 x}) - e^{2 x} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])}{\sin^{2} (5 x)}$

Paso 4.2

La derivada de $\sin (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\cos (u_{2})$ .

$\frac{\sin (5 x) (2 e^{2 x}) - e^{2 x} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])}{\sin^{2} (5 x)}$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $5 x$ .

$\frac{\sin (5 x) (2 e^{2 x}) - e^{2 x} (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])}{\sin^{2} (5 x)}$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\sin (5 x) (2 e^{2 x}) - e^{2 x} (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))}{\sin^{2} (5 x)}$

Paso 5.2

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{\sin (5 x) (2 e^{2 x}) - 5 e^{2 x} (\cos (5 x) (\frac{d}{d x} [x]))}{\sin^{2} (5 x)}$

Paso 5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\sin (5 x) (2 e^{2 x}) - 5 e^{2 x} (\cos (5 x) \cdot 1)}{\sin^{2} (5 x)}$

Paso 5.4

Multiplica $\cos (5 x)$ por $1$ .

$\frac{\sin (5 x) (2 e^{2 x}) - 5 e^{2 x} \cos (5 x)}{\sin^{2} (5 x)}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 \sin (5 x) e^{2 x} - 5 e^{2 x} \cos (5 x)}{\sin^{2} (5 x)}$

Paso 6.1.2

Reordena los factores en $2 \sin (5 x) e^{2 x} - 5 e^{2 x} \cos (5 x)$ .

$\frac{2 e^{2 x} \sin (5 x) - 5 e^{2 x} \cos (5 x)}{\sin^{2} (5 x)}$

Paso 6.2

Factoriza $e^{2 x}$ de $2 e^{2 x} \sin (5 x) - 5 e^{2 x} \cos (5 x)$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $e^{2 x}$ de $2 e^{2 x} \sin (5 x)$ .

$\frac{e^{2 x} (2 \sin (5 x)) - 5 e^{2 x} \cos (5 x)}{\sin^{2} (5 x)}$

Paso 6.2.2

Factoriza $e^{2 x}$ de $- 5 e^{2 x} \cos (5 x)$ .

$\frac{e^{2 x} (2 \sin (5 x)) + e^{2 x} (- 5 \cos (5 x))}{\sin^{2} (5 x)}$

Paso 6.2.3

Factoriza $e^{2 x}$ de $e^{2 x} (2 \sin (5 x)) + e^{2 x} (- 5 \cos (5 x))$ .

$\frac{e^{2 x} (2 \sin (5 x) - 5 \cos (5 x))}{\sin^{2} (5 x)}$