Cálculo Ejemplos

$y = \log_{2} ({(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \log_{2} (x)$ y $g (x) = {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como ${(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{2} (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}]$

Paso 1.2

La derivada de $\log_{2} (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1} \ln (2)}$ .

$\frac{1}{u_{1} \ln (2)} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con ${(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{5}{2}}$ y $g (x) = 2 x^{2} - x$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 x^{2} - x$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{5}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5}{2} {u_{2}}^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x^{2} - x$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5}{2} {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5}{2} {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5}{2} {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5}{2} {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5}{2} {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

Paso 6.2

Resta $2$ de $5$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5}{2} {(2 x^{2} - x)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

Paso 7

Combina $\frac{5}{2}$ y ${(2 x^{2} - x)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5 {(2 x^{2} - x)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

Paso 8

Multiplica $\frac{5 {(2 x^{2} - x)}^{\frac{3}{2}}}{2}$ por $\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)}$ .

$\frac{5 {(2 x^{2} - x)}^{\frac{3}{2}}}{2 ({(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2))} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

Paso 9

Mueve ${(2 x^{2} - x)}^{\frac{3}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{5}{2 {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2) {(2 x^{2} - x)}^{- \frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

Paso 10

Simplifica el denominador.

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Paso 10.1

Multiplica ${(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}$ por ${(2 x^{2} - x)}^{- \frac{3}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 10.1.1

Mueve ${(2 x^{2} - x)}^{- \frac{3}{2}}$ .

$\frac{5}{2 ({(2 x^{2} - x)}^{- \frac{3}{2}} {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}) \ln (2)} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

Paso 10.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{5}{2 {(2 x^{2} - x)}^{- \frac{3}{2} + \frac{5}{2}} \ln (2)} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

Paso 10.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{5}{2 {(2 x^{2} - x)}^{\frac{- 3 + 5}{2}} \ln (2)} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

Paso 10.1.4

Suma $- 3$ y $5$ .

$\frac{5}{2 {(2 x^{2} - x)}^{\frac{2}{2}} \ln (2)} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

Paso 10.1.5

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{5}{2 {(2 x^{2} - x)}^{1} \ln (2)} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

Paso 10.2

Simplifica $2 {(2 x^{2} - x)}^{1} \ln (2)$ .

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

Paso 11

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{2} - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 12

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 14

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} (4 x + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 15

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} (4 x - \frac{d}{d x} [x])$

Paso 16

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} (4 x - 1 \cdot 1)$

Paso 17

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} (4 x - 1)$

Paso 18

Simplifica.

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Paso 18.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5}{(2 (2 x^{2}) + 2 (- x)) \ln (2)} (4 x - 1)$

Paso 18.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5}{2 (2 x^{2}) \ln (2) + 2 (- x) \ln (2)} (4 x - 1)$

Paso 18.3

Combina los términos.

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Paso 18.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{5}{4 x^{2} \ln (2) + 2 (- x) \ln (2)} (4 x - 1)$

Paso 18.3.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{5}{4 x^{2} \ln (2) - 2 x \ln (2)} (4 x - 1)$

Paso 18.4

Reordena los factores de $\frac{5}{4 x^{2} \ln (2) - 2 x \ln (2)} (4 x - 1)$ .

$(4 x - 1) \frac{5}{4 x^{2} \ln (2) - 2 x \ln (2)}$

Paso 18.5

Factoriza $2 x \ln (2)$ de $4 x^{2} \ln (2) - 2 x \ln (2)$ .

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Paso 18.5.1

Factoriza $2 x \ln (2)$ de $4 x^{2} \ln (2)$ .

$(4 x - 1) \frac{5}{2 x \ln (2) (2 x) - 2 x \ln (2)}$

Paso 18.5.2

Factoriza $2 x \ln (2)$ de $- 2 x \ln (2)$ .

$(4 x - 1) \frac{5}{2 x \ln (2) (2 x) + 2 x \ln (2) (- 1)}$

Paso 18.5.3

Factoriza $2 x \ln (2)$ de $2 x \ln (2) (2 x) + 2 x \ln (2) (- 1)$ .

$(4 x - 1) \frac{5}{2 x \ln (2) (2 x - 1)}$

Paso 18.6

Multiplica $4 x - 1$ por $\frac{5}{2 x \ln (2) (2 x - 1)}$ .

$\frac{(4 x - 1) \cdot 5}{2 x \ln (2) (2 x - 1)}$

Paso 18.7

Mueve $5$ a la izquierda de $4 x - 1$ .

$\frac{5 (4 x - 1)}{2 x \ln (2) (2 x - 1)}$