Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x^{2} + 2 x - 7}{x - 2}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2} + 2 x - 7$ y $g (x) = x - 2$ .

$\frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 7] - (x^{2} + 2 x - 7) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 2 x - 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{(x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (x^{2} + 2 x - 7) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (x^{2} + 2 x - 7) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 2.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x - 2) (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (x^{2} + 2 x - 7) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x - 2) (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (x^{2} + 2 x - 7) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 2.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{(x - 2) (2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (x^{2} + 2 x - 7) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 2.6

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x - 2) (2 x + 2 + 0) - (x^{2} + 2 x - 7) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 2.7

Suma $2 x + 2$ y $0$ .

$\frac{(x - 2) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 7) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 2.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(x - 2) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 7) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x - 2) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 7) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 2.10

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x - 2) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 7) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 2.11

Simplifica la expresión.

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Paso 2.11.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(x - 2) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 7) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 2.11.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x - 2) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 7)}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x - 2) (2 x + 2) - x^{2} - (2 x) - - 7}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Expande $(x - 2) (2 x + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (2 x + 2) - 2 (2 x + 2) - x^{2} - (2 x) - - 7}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 3.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 2 - 2 (2 x + 2) - x^{2} - (2 x) - - 7}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 3.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - - 7}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 3.2.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - - 7}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 3.2.1.2.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.1.2.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - - 7}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 3.2.1.2.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - - 7}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 3.2.1.2.1.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot x - 2 (2 x) - 2 \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - - 7}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 3.2.1.2.1.4

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x - 4 x - 2 \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - - 7}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 3.2.1.2.1.5

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x - 4 x - 4 - x^{2} - (2 x) - - 7}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 3.2.1.2.2

Resta $4 x$ de $2 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 4 - x^{2} - (2 x) - - 7}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 3.2.1.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 4 - x^{2} - 2 x - - 7}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 3.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 7$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 4 - x^{2} - 2 x + 7}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 3.2.2

Resta $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - 4 - 2 x + 7}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 3.2.3

Resta $2 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x - 4 + 7}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 3.2.4

Suma $- 4$ y $7$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 3.3

Factoriza $x^{2} - 4 x + 3$ con el método AC.

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Paso 3.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $3$ y cuya suma es $- 4$ .

$- 3, - 1$

Paso 3.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{2}}$