Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x^{2} + 9}{x}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2} + 9$ y $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 9] - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [9]) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.3

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.4

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{x (2 x) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 9) \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 9)}{x^{2}}$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 9}{x^{2}}$

Paso 9.2

Simplifica el numerador.

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Paso 9.2.1

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 9}{x^{2}}$

Paso 9.2.2

Resta $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 9}{x^{2}}$

Paso 9.3

Simplifica el numerador.

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Paso 9.3.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 3^{2}}{x^{2}}$

Paso 9.3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}}$