Cálculo Ejemplos

$y = \frac{300 x + 300}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 300 x + 300$ y $g (x) = {(2 x + 3)}^{2}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [300 x + 300] - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{({(2 x + 3)}^{2})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Multiplica los exponentes en ${({(2 x + 3)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [300 x + 300] - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [300 x + 300] - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $300 x + 300$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [300 x] + \frac{d}{d x} [300]$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [300 x] + \frac{d}{d x} [300]) - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 2.3

Como $300$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $300 x$ con respecto a $x$ es $300 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} (300 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [300]) - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} (300 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [300]) - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 2.5

Multiplica $300$ por $1$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} (300 + \frac{d}{d x} [300]) - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 2.6

Como $300$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $300$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} (300 + 0) - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 2.7

Simplifica la expresión.

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Paso 2.7.1

Suma $300$ y $0$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} \cdot 300 - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 2.7.2

Mueve $300$ a la izquierda de ${(2 x + 3)}^{2}$ .

$\frac{300 \cdot {(2 x + 3)}^{2} - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = 2 x + 3$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x + 3$ .

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - (300 x + 300) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [2 x + 3])}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - (300 x + 300) (2 u \frac{d}{d x} [2 x + 3])}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x + 3$ .

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - (300 x + 300) (2 (2 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x + 3])}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 2 (300 x + 300) ((2 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x + 3])}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 2 (300 x + 300) ((2 x + 3) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 4.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 2 (300 x + 300) ((2 x + 3) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 2 (300 x + 300) ((2 x + 3) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 4.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 2 (300 x + 300) ((2 x + 3) (2 + \frac{d}{d x} [3]))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 4.6

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 2 (300 x + 300) ((2 x + 3) (2 + 0))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 4.7

Simplifica la expresión.

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Paso 4.7.1

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 2 (300 x + 300) ((2 x + 3) \cdot 2)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 4.7.2

Mueve $2$ a la izquierda de $2 x + 3$ .

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 2 (300 x + 300) (2 \cdot (2 x + 3))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 4.7.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 4 (300 x + 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 5.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Reescribe ${(2 x + 3)}^{2}$ como $(2 x + 3) (2 x + 3)$ .

$\frac{300 ((2 x + 3) (2 x + 3)) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 5.2.1.2

Expande $(2 x + 3) (2 x + 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{300 (2 x (2 x + 3) + 3 (2 x + 3)) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 5.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{300 (2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x + 3)) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 5.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{300 (2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 5.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{300 (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 5.2.1.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.1.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{300 (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 5.2.1.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{300 (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 5.2.1.3.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{300 (4 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 5.2.1.3.1.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{300 (4 x^{2} + 6 x + 3 (2 x) + 3 \cdot 3) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 5.2.1.3.1.5

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{300 (4 x^{2} + 6 x + 6 x + 3 \cdot 3) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 5.2.1.3.1.6

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{300 (4 x^{2} + 6 x + 6 x + 9) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 5.2.1.3.2

Suma $6 x$ y $6 x$ .

$\frac{300 (4 x^{2} + 12 x + 9) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 5.2.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{300 (4 x^{2}) + 300 (12 x) + 300 \cdot 9 + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 5.2.1.5

Simplifica.

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Paso 5.2.1.5.1

Multiplica $4$ por $300$ .

$\frac{1200 x^{2} + 300 (12 x) + 300 \cdot 9 + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 5.2.1.5.2

Multiplica $12$ por $300$ .

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 300 \cdot 9 + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 5.2.1.5.3

Multiplica $300$ por $9$ .

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 5.2.1.6

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.6.1

Multiplica $300$ por $- 4$ .

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 + (- 1200 x - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 5.2.1.6.2

Multiplica $- 4$ por $300$ .

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 + (- 1200 x - 1200) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 5.2.1.7

Expande $(- 1200 x - 1200) (2 x + 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.2.1.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 1200 x (2 x + 3) - 1200 (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 5.2.1.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 1200 x (2 x) - 1200 x \cdot 3 - 1200 (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 5.2.1.7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 1200 x (2 x) - 1200 x \cdot 3 - 1200 (2 x) - 1200 \cdot 3}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 5.2.1.8

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.2.1.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.8.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 1200 \cdot 2 x \cdot x - 1200 x \cdot 3 - 1200 (2 x) - 1200 \cdot 3}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 5.2.1.8.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.1.8.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 1200 \cdot 2 (x \cdot x) - 1200 x \cdot 3 - 1200 (2 x) - 1200 \cdot 3}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 5.2.1.8.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 1200 \cdot 2 x^{2} - 1200 x \cdot 3 - 1200 (2 x) - 1200 \cdot 3}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 5.2.1.8.1.3

Multiplica $- 1200$ por $2$ .

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 2400 x^{2} - 1200 x \cdot 3 - 1200 (2 x) - 1200 \cdot 3}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 5.2.1.8.1.4

Multiplica $3$ por $- 1200$ .

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 2400 x^{2} - 3600 x - 1200 (2 x) - 1200 \cdot 3}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 5.2.1.8.1.5

Multiplica $2$ por $- 1200$ .

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 2400 x^{2} - 3600 x - 2400 x - 1200 \cdot 3}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 5.2.1.8.1.6

Multiplica $- 1200$ por $3$ .

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 2400 x^{2} - 3600 x - 2400 x - 3600}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 5.2.1.8.2

Resta $2400 x$ de $- 3600 x$ .

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 2400 x^{2} - 6000 x - 3600}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 5.2.2

Resta $2400 x^{2}$ de $1200 x^{2}$ .

$\frac{- 1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 6000 x - 3600}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 5.2.3

Resta $6000 x$ de $3600 x$ .

$\frac{- 1200 x^{2} - 2400 x + 2700 - 3600}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 5.2.4

Resta $3600$ de $2700$ .

$\frac{- 1200 x^{2} - 2400 x - 900}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 5.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.1

Factoriza $300$ de $- 1200 x^{2} - 2400 x - 900$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1.1

Factoriza $300$ de $- 1200 x^{2}$ .

$\frac{300 (- 4 x^{2}) - 2400 x - 900}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 5.3.1.2

Factoriza $300$ de $- 2400 x$ .

$\frac{300 (- 4 x^{2}) + 300 (- 8 x) - 900}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 5.3.1.3

Factoriza $300$ de $- 900$ .

$\frac{300 (- 4 x^{2}) + 300 (- 8 x) + 300 (- 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 5.3.1.4

Factoriza $300$ de $300 (- 4 x^{2}) + 300 (- 8 x)$ .

$\frac{300 (- 4 x^{2} - 8 x) + 300 (- 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 5.3.1.5

Factoriza $300$ de $300 (- 4 x^{2} - 8 x) + 300 (- 3)$ .

$\frac{300 (- 4 x^{2} - 8 x - 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 5.3.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.3.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 4 \cdot - 3 = 12$ y cuya suma es $b = - 8$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Factoriza $- 8$ de $- 8 x$ .

$\frac{300 (- 4 x^{2} - 8 (x) - 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 5.3.2.1.2

Reescribe $- 8$ como $- 2$ más $- 6$

$\frac{300 (- 4 x^{2} + (- 2 - 6) x - 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 5.3.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{300 (- 4 x^{2} - 2 x - 6 x - 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 5.3.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.3.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{300 ((- 4 x^{2} - 2 x) - 6 x - 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 5.3.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{300 (2 x (- 2 x - 1) + 3 (- 2 x - 1))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 5.3.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- 2 x - 1$ .

$\frac{300 ((- 2 x - 1) (2 x + 3))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

$\frac{300 (- 2 x - 1) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 5.4

Cancela el factor común de $2 x + 3$ y ${(2 x + 3)}^{4}$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $2 x + 3$ de $300 (- 2 x - 1) (2 x + 3)$ .

$\frac{(2 x + 3) (300 (- 2 x - 1))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Paso 5.4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.1

Factoriza $2 x + 3$ de ${(2 x + 3)}^{4}$ .

$\frac{(2 x + 3) (300 (- 2 x - 1))}{(2 x + 3) {(2 x + 3)}^{3}}$

Paso 5.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{(2 x + 3) (300 (- 2 x - 1))}{(2 x + 3) {(2 x + 3)}^{3}}$

Paso 5.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{300 (- 2 x - 1)}{{(2 x + 3)}^{3}}$

Paso 5.5

Factoriza $- 1$ de $- 2 x$ .

$\frac{300 (- (2 x) - 1)}{{(2 x + 3)}^{3}}$

Paso 5.6

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{300 (- (2 x) - 1 (1))}{{(2 x + 3)}^{3}}$

Paso 5.7

Factoriza $- 1$ de $- (2 x) - 1 (1)$ .

$\frac{300 (- (2 x + 1))}{{(2 x + 3)}^{3}}$

Paso 5.8

Reescribe $- (2 x + 1)$ como $- 1 (2 x + 1)$ .

$\frac{300 (- 1 (2 x + 1))}{{(2 x + 3)}^{3}}$

Paso 5.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{300 (2 x + 1)}{{(2 x + 3)}^{3}}$