Cálculo Ejemplos

$y = {(2 x - 8)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{5}$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = {(2 x - 8)}^{4}$ y $g (x) = {(x^{2} + x + 1)}^{5}$ .

${(2 x - 8)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 1)}^{5}] + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 8)}^{4}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{5}$ y $g (x) = x^{2} + x + 1$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{2} + x + 1$ .

${(2 x - 8)}^{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 8)}^{4}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

${(2 x - 8)}^{4} (5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 8)}^{4}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{2} + x + 1$ .

${(2 x - 8)}^{4} (5 {(x^{2} + x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 8)}^{4}]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Mueve $5$ a la izquierda de ${(2 x - 8)}^{4}$ .

$5 \cdot {(2 x - 8)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1] + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 8)}^{4}]$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$5 {(2 x - 8)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 8)}^{4}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$5 {(2 x - 8)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 8)}^{4}]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 {(2 x - 8)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 8)}^{4}]$

Paso 3.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$5 {(2 x - 8)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1 + 0) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 8)}^{4}]$

Paso 3.6

Suma $2 x + 1$ y $0$ .

$5 {(2 x - 8)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 8)}^{4}]$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = 2 x - 8$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 x - 8$ .

$5 {(2 x - 8)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [2 x - 8])$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$5 {(2 x - 8)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 8])$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x - 8$ .

$5 {(2 x - 8)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} (4 {(2 x - 8)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 8])$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Mueve $4$ a la izquierda de ${(x^{2} + x + 1)}^{5}$ .

$5 {(2 x - 8)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 4 \cdot {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 8)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 8]$

Paso 5.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$5 {(2 x - 8)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 4 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 8)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8])$

Paso 5.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 {(2 x - 8)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 4 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 8)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])$

Paso 5.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 {(2 x - 8)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 4 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 8)}^{3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8])$

Paso 5.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$5 {(2 x - 8)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 4 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 8)}^{3} (2 + \frac{d}{d x} [- 8])$

Paso 5.6

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$5 {(2 x - 8)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 4 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 8)}^{3} (2 + 0)$

Paso 5.7

Simplifica la expresión.

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Paso 5.7.1

Suma $2$ y $0$ .

$5 {(2 x - 8)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 4 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 8)}^{3} \cdot 2$

Paso 5.7.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$5 {(2 x - 8)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 8 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 8)}^{3}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Factoriza ${(2 x - 8)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4}$ de $5 {(2 x - 8)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 8 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 8)}^{3}$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza ${(2 x - 8)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4}$ de $5 {(2 x - 8)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1)$ .

${(2 x - 8)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (5 (2 x - 8) (2 x + 1)) + 8 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 8)}^{3}$

Paso 6.1.2

Factoriza ${(2 x - 8)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4}$ de $8 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 8)}^{3}$ .

${(2 x - 8)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (5 (2 x - 8) (2 x + 1)) + {(2 x - 8)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (8 (x^{2} + x + 1))$

Paso 6.1.3

Factoriza ${(2 x - 8)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4}$ de ${(2 x - 8)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (5 (2 x - 8) (2 x + 1)) + {(2 x - 8)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (8 (x^{2} + x + 1))$ .

${(2 x - 8)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (5 (2 x - 8) (2 x + 1) + 8 (x^{2} + x + 1))$

Paso 6.2

Reordena los factores de ${(2 x - 8)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (5 (2 x - 8) (2 x + 1) + 8 (x^{2} + x + 1))$ .

${(x^{2} + x + 1)}^{4} {(2 x - 8)}^{3} (5 (2 x - 8) (2 x + 1) + 8 (x^{2} + x + 1))$