Cálculo Ejemplos

$y = {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{3}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = 2 + {(x^{2} + 1)}^{4}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 + {(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [2 + {(x^{2} + 1)}^{4}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [2 + {(x^{2} + 1)}^{4}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 + {(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$3 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} \frac{d}{d x} [2 + {(x^{2} + 1)}^{4}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 + {(x^{2} + 1)}^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{4}]$ .

$3 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{4}])$

Paso 2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{4}])$

Paso 2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{4}]$ .

$3 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{4}]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{2} + 1$ .

$3 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$3 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{2} + 1$ .

$3 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} (4 {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Multiplica $4$ por $3$ .

$12 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} ({(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$12 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} ({(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$12 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} ({(x^{2} + 1)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [1]))$

Paso 4.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$12 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} ({(x^{2} + 1)}^{3} (2 x + 0))$

Paso 4.5

Simplifica la expresión.

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Paso 4.5.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$12 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} ({(x^{2} + 1)}^{3} (2 x))$

Paso 4.5.2

Mueve $2$ a la izquierda de ${(x^{2} + 1)}^{3}$ .

$12 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} (2 \cdot {(x^{2} + 1)}^{3} x)$

Paso 4.5.3

Multiplica $2$ por $12$ .

$24 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} ({(x^{2} + 1)}^{3} x)$

Paso 4.5.4

Reordena los factores de $24 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} ({(x^{2} + 1)}^{3} x)$ .

$24 x {(x^{2} + 1)}^{3} {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2}$