Cálculo Ejemplos

$y = {(4 x^{3} - x^{- 2} + 1)}^{4}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = 4 x^{3} - x^{- 2} + 1$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 x^{3} - x^{- 2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [4 x^{3} - x^{- 2} + 1]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [4 x^{3} - x^{- 2} + 1]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x^{3} - x^{- 2} + 1$ .

$4 {(4 x^{3} - x^{- 2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x^{3} - x^{- 2} + 1]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{3} - x^{- 2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$4 {(4 x^{3} - x^{- 2} + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 {(4 x^{3} - x^{- 2} + 1)}^{3} (4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 {(4 x^{3} - x^{- 2} + 1)}^{3} (4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.4

Multiplica $3$ por $4$ .

$4 {(4 x^{3} - x^{- 2} + 1)}^{3} (12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$4 {(4 x^{3} - x^{- 2} + 1)}^{3} (12 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$4 {(4 x^{3} - x^{- 2} + 1)}^{3} (12 x^{2} - (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.7

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$4 {(4 x^{3} - x^{- 2} + 1)}^{3} (12 x^{2} + 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.8

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 {(4 x^{3} - x^{- 2} + 1)}^{3} (12 x^{2} + 2 x^{- 3} + 0)$

Paso 2.9

Suma $12 x^{2} + 2 x^{- 3}$ y $0$ .

$4 {(4 x^{3} - x^{- 2} + 1)}^{3} (12 x^{2} + 2 x^{- 3})$

Paso 3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 {(4 x^{3} - \frac{1}{x^{2}} + 1)}^{3} (12 x^{2} + 2 x^{- 3})$

Paso 4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 {(4 x^{3} - \frac{1}{x^{2}} + 1)}^{3} (12 x^{2} + 2 \frac{1}{x^{3}})$

Paso 5

Combina $2$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$4 {(4 x^{3} - \frac{1}{x^{2}} + 1)}^{3} (12 x^{2} + \frac{2}{x^{3}})$