Cálculo Ejemplos

$y = {(1 + \sin (7 x))}^{- 4}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 4}$ y $g (x) = 1 + \sin (7 x)$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $1 + \sin (7 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 4}] \frac{d}{d x} [1 + \sin (7 x)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = - 4$ .

$- 4 {u_{1}}^{- 5} \frac{d}{d x} [1 + \sin (7 x)]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $1 + \sin (7 x)$ .

$- 4 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} \frac{d}{d x} [1 + \sin (7 x)]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \sin (7 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (7 x)]$ .

$- 4 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (7 x)])$

Paso 2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 4 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} (0 + \frac{d}{d x} [\sin (7 x)])$

Paso 2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [\sin (7 x)]$ .

$- 4 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} \frac{d}{d x} [\sin (7 x)]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 7 x$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $7 x$ .

$- 4 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [7 x])$

Paso 3.2

La derivada de $\sin (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\cos (u_{2})$ .

$- 4 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [7 x])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $7 x$ .

$- 4 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} (\cos (7 x) \frac{d}{d x} [7 x])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} \cos (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.2

Multiplica $7$ por $- 4$ .

$- 28 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} \cos (7 x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 28 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} \cos (7 x) \cdot 1$

Paso 4.4

Multiplica $- 28$ por $1$ .

$- 28 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} \cos (7 x)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 28 \frac{1}{{(1 + \sin (7 x))}^{5}} \cos (7 x)$

Paso 5.2

Combina $- 28$ y $\frac{1}{{(1 + \sin (7 x))}^{5}}$ .

$\frac{- 28}{{(1 + \sin (7 x))}^{5}} \cos (7 x)$

Paso 5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{28}{{(1 + \sin (7 x))}^{5}} \cos (7 x)$

Paso 5.4

Combina $\cos (7 x)$ y $\frac{28}{{(1 + \sin (7 x))}^{5}}$ .

$- \frac{\cos (7 x) \cdot 28}{{(1 + \sin (7 x))}^{5}}$

Paso 5.5

Mueve $28$ a la izquierda de $\cos (7 x)$ .

$- \frac{28 \cos (7 x)}{{(1 + \sin (7 x))}^{5}}$